一個基礎的概念：a|b表示a能整除b，b是a的一個因子

裴蜀定理：對任何整數a、b和它們的最大公約數g，a*x+by=m有解時，g|m。藉助拓展歐幾里得演算法，可以求出解。（求逆元常轉化為這個式子）。不只是x和y，當有z1、z2等多個元素時該定理可以進行擴充套件

同餘和剩餘

x≡a(mod m)，x和a關於模m同餘；a為x模m的一個剩餘，當0<=a<=m-1時a為最小剩餘

費馬小定理

當p是一個素數時，且a與p互質，有a^p-1≡1(mod p)

尤拉定理

當a與n互質時，有a^φ(n)≡1(mod p)。尤拉函式是指：對於一個正整數 n ，小於 n 且和 n 互質的正整數（包括 1）的個數，記作 φ(n)

根據公式打出求尤拉函式的如下程式碼：

ll eular(ll n)
{
    ll ans = n;
    for(int i=2; i*i <= n; ++i)
    {
        if(n%i == 0)
        {
            ans = ans/i*(i-1);
            while(n%i == 0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);    //最後可能還剩一個大素數因子
    return ans;
}

上面的複雜度是O(n^2)，可以通過篩法降到O(n*logn)。還可以與尤拉篩結合，在求素數的同時完成求尤拉函式的操作。

inline void work(int n) 
{ 
    for(re int i=1;i<=n;++i) 
    {
        p[i]=i; 
    }
    for(re int i=2;i<=n;++i) 
    { 
        if(p[i]==i)    //如果i是質數
        { 
            for(re int j=i;j<=n;j+=i) 
            { 
                p[j]=p[j]/i*(i-1);     //那麼就把i的所有倍數篩出來 
            } 
        } 
    }
}
 

又有拓展尤拉公式：

拓展尤拉公式用於處理求a^b(mod p)，當b沒有什麼特徵的時候。

伯特蘭—切比雪夫定理

若整數n > 3，則至少存在一個質數p，符合n < p < 2n − 2。另一個稍弱說法是：對於所有大於1的整數n，至少存在一個質數p，符合n < p < 2n。

例題洛谷P5535。該定理的一個應用是互質數之間的擴散，所有數都將在1或2次之間完成擴散。

線性同餘方程

線性同餘方程a*x≡b(mod m)，可以轉化為線性不定方程a*x+m*y=b。根據裴蜀定理，gcd(a,m)|b時方程有解。對該方程兩邊同除gcd，拓展歐幾里得方法求出一組解。在模n意義下一共有d個解，對求出的解+(n/d)遍歷即可求出所有解。

有一些細節需要值得注意：（1）求出xx後要進行處理，xx=(xx+m)%m （2）此時的xx是與gcd(a,b)對應的解，對於普遍情況，(xx*(g/b))%(m/b) （3）求解的集合，(xx*(g/b))%(m/b)+(m/b)

中國剩餘定理

求解單變數模線性方程組，x≡a₁(mod m₁)，x≡a₂(mod m₂)，......

若m₁、m₂、...互質則有解。（1）令M=m₁*m₂*...，並有M1=M/m₁，... （2）拓展歐幾里得求t₁=M₁在m₁下的逆元 （3）x=（a₁t₁M₁+a₂t₂M₂+...）%M，在模M意義下有唯一解

無根樹有根樹的計數/Cayley公式/Prufer編碼

一個無向完全圖有n^n-2棵生成樹，通俗的說就是n個節點的帶編號的無根樹有n^n-2個。

n個節點的度依次為D₁, D₂, …, D_n的無根樹共有 (n-2)! / [ (D₁-1)!(D₂-1)!..(Dn-1)! ]個，因為此時Prüfer編碼中的數字i恰好出現D_i-1次

令每個已知度數的節點的度數為d_i，有n個節點，m個節點未知度數，left=(n-2)-(d₁-1)-(d₂-1)-...-(d_k-1)。已知度數的節點可能的組合方式：(n-2)!/(d₁-1)!/(d₂-1)!/.../(d_k-1)!/left!，剩餘left個位置由未知度數的節點隨意填補，方案數為m^left。於是最後有ans=(n-2)!/(d₁-1)!/(d₂-1)!/.../(d_k-1)!/left! * m^left