OpenGL 六 - 3D數學基礎 - 向量、矩陣及OpenGL中的變換

阿新 • • 發佈：2020-07-20

關於矩陣和向量的相關知識，大家可能和我一樣畢業後幾乎就慢慢遺忘乾淨了。但是，既然學過，回憶起來其實並不太難。而且，即使沒有學過，也並不影響我們對相關API的使用。當然基礎知識的理解會幫助我們弄明白和更好的進行OpenGL的開發工作。

GLTools庫中的Math3d，其中包含了大量的OpenGL 3D數學的資料型別，矩陣、向量的計算等等 API。

一、向量

1、何為向量

3D笛卡爾座標系中，一個頂點就是 XYZ 座標空間上的一個點的位置。XYZ 就是一個向量，數學思維中一個頂點就是一個向量。

向量長度為1的稱為單位向量。向量長度 = ²√(x²+ y²+ z²) 即：向量的模。

把一個非單位向量縮放到 1 的過程，稱為標準化。也叫做單位化向量。 -- 保留向量的方向

1.1、宣告向量

M3DVector3f() -- 3維向量 (x,y,z)

M3DVector4f() -- 4維向量 (x,y,z,w) -- w: 縮放值，不縮放為:1

// 三維向量/四維向量的宣告
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
// 宣告一個三維向量 
M3DVector3f vVector;
// 宣告一個四維向量並初始化一個四維向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
// 宣告一個三分量頂點陣列，例如生成一個三角形 
M3DVector3f vVerts[] = {
    -0.5f,0.0f,0.0f, 
    0.5f,0.0f,0.0f, 
    0.0f,0.5f,0.0f
}

2、向量的點乘(dot product)

兩個向量之間可以進行加、減計算，使用率較高的是點乘，點乘只發生在兩個向量之間。

2個單位向量點乘得到一個標量 -->標量：沒有方向，只有數值 -->一個 [-1,1] 的值，這個值其實就是兩個向量間夾⻆的 cos 值 -- 餘弦值。

如何求2個普通向量的夾角呢？單位化向量 --> x,y,z 分別 ➗ 向量的模(x/|xyz|, y/|xyz|, z/|xyz|)--> 與此普通向量方向相同的單位向量。

2.1、向量的點乘

// math3d 庫中提供了了關於點乘的API
// 1.m3dDotProduct3 函式獲得2個向量之間的點乘結果
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
// 2.m3dGetAngleBetweenVector3 可獲取2個向量之間夾角的弧度值
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v)

3、向量的叉乘(cross product)

2個向量v1、v2叉乘可得到一個向量v3，向量v3垂直於向量v1、v2 --> 法線 --> 遊戲場景中

叉乘不滿足交換律，因為向量是有方向的，交換叉乘方向會不同。

3.1、向量的叉乘

math3d 庫中提供了關於叉乘的API
// 1.m3dCrossProduct3 函式獲得2個向量之間的叉乘結果 --> 一個新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const M3DVector3f v);

二、矩陣(Matrix)

為什麼使用矩陣？

我們對一個物體進行移動旋轉等操作時，物體的每個點都需要進行相應的移動旋轉，簡單的圖形的平移可以對每個點進行x,y,z的計算，但是當物體移動很複雜，頂點又很多時，我們對每個點進行計算操作再賦值的工作量很大且易出錯，更何況有旋轉時我們不一定精確知道角度，此時，矩陣就解決了我們的這個問題。

矩陣一行 or 一列都是合理的，其也可以稱為向量。

1、矩陣的宣告

// 三維矩陣/四維矩陣的宣告
typedef float M3DMatrix33f[9];
typedef float M3DMatrix44f[16];
在其他程式設計標準中, 許多矩陣庫定義一個矩陣時使⽤的是二維陣列;
OpenGL 的約定裡，更多傾向使⽤一維陣列，這樣做的原因是: OpenGL 使⽤的是 Column-Major (以列為主)矩陣排序的約定。 --> 列矩陣 == 轉置矩陣(數學中的)

列優先矩陣：

下圖，這 16 個值表示空間中一個特定的位置，這4列中，每⼀列都是有4個元素組成的向量；

如果無們要轉動一個一個物體，那麼將此物體所有的頂點向量每一個頂點依次乘以一個矩陣，讓此物體所有的頂點都應用相同的變換，從而得到物體轉動後所在的空間中的位置和⽅向。

列向量的特別標註：矩陣的最後⼀行都為0，最後⼀個元素為0。

單元矩陣：

// 單元矩陣初始化 ⽅式1
GLFloat m[] = {
           1,0,0,0, //X Column
           0,1,0,0, //Y Column
           0,0,1,0, //Z Column
           0,0,0,1 // Translation 
}
           
// 單元矩陣初始化 方式 2
M3DMatrix44f m = {
           1,0,0,0, //X Column
           0,1,0,0, //Y Column
           0,0,1,0, //Z Column
           0,0,0,1 // Translation 
} 
// 單元矩陣初始化 方式3
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

2、矩陣的乘法

線性代數角度計算：線性代數中，為便於書寫，座標的計算順序都是從左到右的方式進行的。

變換後頂點向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro

　　　　　　　　頂點 * 模型矩陣 * 檢視矩陣 * 投影矩陣　　

從OpenGL的角度：因為OpenGL中的約定是列優先矩陣，所以計算如下：

變換後頂點向量 = M_pro* M_view * M_model *V_local

　　　　　　　　投影矩陣 * 檢視變換矩陣 * 模型矩陣 * 頂點　　

矩陣的計算規則：左乘：代數中，用到兩個矩陣相乘的時候，矩陣A×矩陣B，那麼就稱為 A左乘以B。

三、OpenGL中的變換

1、檢視變換

2個視角的視覺座標系

檢視變換是應⽤到場景中的第⼀種變換, 它⽤來確定場景中的有利位置,在預設情況下, 透視投影中位於原點(0,0,0)，並沿著 z 軸負⽅向進⾏觀察 (向顯示器內部”看過去”)。當觀察者點位於原點(0,0,0) 時,就像在透視投影中⼀樣。
檢視變換將觀察者放在你希望的任何位置，並允許在任何⽅向上觀察場景, 確定檢視變換就像在場景中放置觀察者並讓它指向某⼀個⽅向;
從⼤局上考慮, 在應⽤任何其他模型變換之前, 必須先應⽤檢視變換。這樣做是因為, 對於視覺座標系⽽言, 檢視變換移動了當前的⼯作的座標系; 後續的變化都會基於新調整的座標系進⾏。 -- 《OpenGL超級寶典》

2、模型變換

⽤於操縱模型與其中某特定變換。這些變換通過旋轉,縮放,平移將物件移動到需要的位置。模型變換的平移旋轉縮放的不同順序結果是不同的。

1.1 平移

void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, floata x, float y, float z);//M3DMatrix44f m 平移的結果

1.2 旋轉

m3dRotationMatrix44(m3dDegToRad(45.0), floata x, float y, float z);// 有返回值

1.3 縮放

void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, floata xScale, float yScale, float zScale);//M3DMatrix44f m 縮放的結果

1.4 綜合變換 -- 既縮放也平移

void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b); //M3DMatrix44f product放結果；const M3DMatrix44f a、b ，順序不定，根據需求確定是先平移還是先縮放。

3、投影變換