那如果讓你證明你會嗎？
我不會
如果用定義會很麻煩，這裡用到的都是反函式，就想到了反函式求導法則

反函式的導數

• y = f ( x ) 是 x = ψ ( y ) y=f(x)是x=\psi(y) y=f(x)是x=ψ(y)的反函式
• 若 ψ ( y ) \psi(y) ψ(y)滿足：
  • ①在 y 0 y_0 y0​的某鄰域內連續
  • ②嚴格單調
  • ③ ψ ′ ( y 0 ) ≠ 0 \psi'(y_0)\ne0 ψ′(y0​)​=0
• 則 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 ( x 0 = ψ ( y 0 ) x_0(x_0=\psi(y_0) x0​(x0​=ψ(y0​)處可導，且 f ′ ( x 0 ) = 1 ψ ′ ( y 0 ) f'(x_0)=\frac1{\psi'(y_0)}
  f′(x0​)=ψ′(y0​)1​

證明

• 要證明： lim ⁡ △ x → 0 △ y △ x = lim ⁡ △ y → 0 1 △ x △ y \lim_{\triangle x\to 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle y\to 0}\frac1{\frac{\triangle x}{\triangle y}} △x→0lim​△x△y​=△y→0lim​△y△x​1​其中 △ x = ψ ( y 0 + △ y ) − ψ ( y 0 ) \triangle x=\psi(y_0+\triangle y)-\psi(y_0) △x=ψ(y0​+△y
  )−ψ(y0​) △ y = f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0) △y=f(x0​+△x)−f(x0​)
• 現在要證明 △ x → 0 ⇔ △ y → 0 \triangle x\to 0 \Leftrightarrow \triangle y\to 0 △x→0⇔△y→0
• 這就用到了第二點那一堆苛刻的條件啦
• ∵ ψ \psi ψ在 y 0 y_0 y0​的某鄰域內連續+嚴格單調
• ∴ f = ψ − 1 f=\psi^{-1} f=ψ−1在 x 0 x_0 x0​的某鄰域內連續且嚴格單調
• 於是當且僅當 △ y = 0 \triangle y=0 △y
  =0時， △ x = 0 \triangle x=0 △x=0
• 也當且僅當 △ y → 0 \triangle y\to0 △y→0時， △ x → 0 \triangle x\to0 △x→0
• 由於 ψ ′ ( y 0 ) ≠ 0 \psi'(y_0)\ne 0 ψ′(y0​)​=0，有 f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ △ x → 0 △ y △ x = lim ⁡ △ y → 0 △ y △ x f'(x_0)=\lim_{\triangle x\to0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle y\to0}\frac{\triangle y}{\triangle x} f′(x0​)=△x→0lim​△x△y​=△y→0lim​△x△y​ = 1 lim ⁡ △ y → 0 △ x △ y = 1 ψ ′ ( y 0 ) =\frac1{\lim\limits_{\triangle y\to0}\frac{\triangle x}{\triangle y}}=\frac1{\psi'(y_0)} =△y→0lim​△y△x​1​=ψ′(y0​)1​

然後上面的題就好證明多啦！
舉個例子
( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′=1−x2 ​1​

• y = arcsin ⁡ x , x = sin ⁡ y y=\arcsin x,x=\sin y y=arcsinx,x=siny
• 
• ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 ( sin ⁡ y ) ′ = 1 cos ⁡ y = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac1{\cos y}=\frac1{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)′=(siny)′1​=cosy1​=1−x2 ​1​