1、餘弦相似度

給定兩個屬性向量，A和B，其餘弦相似性θ由點積和向量長度給出，如下所示：

符號表示：

其中：分別代表向量A和B的各分量

數值表示：

（二維）

（高維）

給出的相似性範圍從-1到1：

-1意味著兩個向量指向的方向正好截然相反，1表示它們的指向是完全相同的，0通常表示它們之間是獨立的，而在這之間的值則表示中間的相似性或相異性。

餘弦距離：

2、歐式距離

N維歐氏空間中兩點，間的距離公式：

3、二者關係

標準化之後的歐式距離近似於餘弦距離

證明如下：

證法一：

假設二維空間兩個點，

然後歸一化為單位向量

那麼餘弦相似度為：

歐式距離為：

化簡後結果：

作圖如下：

可以從影象上看到二者的值比較接近

對於高維空間與二維類似

證法二：

餘弦相似度的定義公式為

，

歸一化後

餘弦距離：

歐式距離：

由公式可以看出歸一化後，歐式距離與餘弦距離存在單調性關係，此時兩種距離的值域都為[0,2]。

歐式距離與餘弦距離的對比：

1.歐式距離的數值受到維度的影響，餘弦相似度在高維的情況下也依然保持低維完全相同時相似度為1等性質。

2.歐式距離體現的是距離上的絕對差異，餘弦距離體現的是方向上的相對差異。

參考：

https://www.zhihu.com/question/19640394

https://www.cnblogs.com/airnew/p/9563703.html

https://blog.csdn.net/lucky_kai/article/details/89514868