300. 最長上升子序列

給定一個無序的整數陣列，找到其中最長上升子序列的長度。

示例:

輸入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
輸出: 4 
解釋: 最長的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的長度是 4。

說明:

可能會有多種最長上升子序列的組合，你只需要輸出對應的長度即可。
你演算法的時間複雜度應該為 O(n2) 。

進階: 你能將演算法的時間複雜度降低到O(n log n) 嗎?

思路一：動態規劃

思路參考：動態規劃 ---- 最長不下降子序列（Longest Increasing Sequence, LIS）

dp[i]表示以nums[i]為結尾的最長上升子序列的長度 計算dp[i]的過程為，遍歷[0,i-1]之間的元素 nums[j] ，判斷能否把 nums[i] 加入到以 nums[j] 元素結尾的最長上升子序列的尾部，加入依據是仍然維持是一個上升子序列。即判斷是否 nums[i]> nums[j] 如果可以則判斷能否能把 dp[i] 增大，即能否比 nums[i] 當前所在的最長上升子序列長度更長，如果可以（即如果 dp[j] + 1 > dp[i]），把nums[i]元素加入到 nums[j] 所在的上升子序列中，則dp[i]=dp[j]+1 邊界情況分析，每個元素都可以以當前元素為一個上升子序列，所以顯然每個 dp[i] 最小為1，所以dp[i]的初值為 1

 1
 
 class Solution {
 2     public int lengthOfLIS(int[] nums) {
 3         if(nums == null || nums.length == 0){
 4             return 0;
 5         }
 6 
 7         // 邊界情況分析，每個元素都可以以當前元素為一個上升子序列，所以顯然每個dp[i]最小為1
 8         int len = nums.length;
 9         int[] dp = new int[len];
10         int max = 1;
 
11         dp[0] = 1;
12         for(int i = 1; i < len; i++){
13             dp[i] = 1;
14             for(int j = 0; j < i; j++){
15                     // 如果可以維持一個上升序列且時最長上升序列更長，則更新dp[i]
16                     if(nums[i] > nums[j] && dp[j] + 1 > dp[i]){
17                     dp[i] = dp[j] + 1;
 
18                 }
19             }
20             max = Math.max(dp[i], max);
21         }
22         return max;
23     }
24 }

leetcode 執行用時：15 ms > 44.16%, 記憶體消耗：36.3 MB > 95.15%

複雜度分析：

時間複雜度：O(n²)。雙迴圈，所以時間複雜度為O(n²)。

空間複雜度：O(n)。需要一個大小為 n 輔助陣列dp[], 所以空間複雜度為O(n)。