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CRT 中國剩餘定理

設 \(m_1,m_2,...,m_x\) 是兩兩互質的整數，\(M= \prod_{i=1}^{x} m_i ,M_i= \frac {M}{m_i}\)，\(t_i\) 是 \(M_it_i \equiv 1 \ ({\rm {mod}} \ m_i)\) 的一個解，對於任意的整數 \(a_1,a_2,...,a_x\)，方程組：

\[\begin{cases} x \equiv a_1 \ ({\rm {mod}} \ m_1) \\ x \equiv a_2 \ ({\rm {mod}} \ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_x \ ({\rm {mod}} \ m_x) \\ \end{cases} \]

有整數解，解為 \(\sum_{i=1}^x a_iM_it_i\) 。

證明略 定理不就是用來背的嗎

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模版：

P1495 【模板】中國剩餘定理(CRT)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define lxl long long
using namespace std;

lxl a[15],b[15];
int n;

inline lxl exgcd(lxl a,lxl b,lxl &x,lxl &y)
{
	if(!b) {x=1,y=0;return a;}
	lxl k=exgcd(b,a%b,x,y);
	lxl z=x;x=y,y=z-a/b*y;
	return k;
}

inline lxl china()
{
	lxl M=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		M*=a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		lxl tx,y,Mi=M/a[i];
		exgcd(Mi,a[i],tx,y);
		ans=(ans+b[i]*Mi*tx)%M;
	}
	return (ans+M)%M;
}

int main()
{
	//freopen("P1495.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
	printf("%lld\n",china());
	return 0;
}

 

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exCRT 擴充套件中國剩餘定理

說是中國剩餘定理，但是好像和CRT關係不大。

擴充套件中國剩餘定理就是合併線性同餘方程式，解決 \(m_i\) 不互素的情況。

先考慮兩個同餘方程式：

\[\begin{cases} x \equiv a_1 ({\rm {mod}} \ b_1) \\ x \equiv a_2 ({\rm {mod}} \ b_2) \end{cases} \implies\\ \begin{cases} x = a_1 +k_1 * b_1 \\ x \equiv a_2 + k_2 * b_2 \end{cases} \implies\\ a_1 +k_1 * b_1=a_2 + k_2 * b_2 \implies\\ k_1 * b_1+k_2 * b_2=a_2-a_1 \]

如果不定方程有解，使用擴充套件歐幾里德演算法求出一個 \(k_1\) 的特解 \(k_0\)，則 \(x\) 的一個特解 \(x_0=a_1+k_0 * b_1\)。通解

\[k_i=k_0+u* \frac {b_2}{{\rm{gcd}}(b_1,b_2)},u \in {\rm{Z}} \]

則：

\[\begin{aligned} x&=k_i * b_1 +a_1\\ &=u * \frac {b_1b_2}{{\rm{gcd}}(b_1,b_2)}+a_1+k_0 * b_1\\ &=u * {\rm {lcm}}(b_1,b_2)+x_0\\ x& \equiv x_0 \ ({\rm {mod}} \ {\rm {lcm}} (b_1,b_2))\\ \end{aligned} \]

於是就把兩個同餘方程式合併成了一個。同理，將所有方程式按此方法合併，答案為最後的 \(x_0\)。

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模版：

P4777 【模板】擴充套件中國剩餘定理（EXCRT）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define lxl long long
#define maxn 100005
using namespace std;

inline lxl times(lxl a,lxl b,lxl mod)
{
	lxl ans=0;
	while(b>0)
	{
		if(b%2) ans=(ans+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline lxl exgcd(lxl a,lxl b,lxl &x,lxl &y)
{
	if(!b) {x=1,y=0;return a;}
	lxl k=exgcd(b,a%b,x,y);
	lxl z=x;x=y,y=z-a/b*y;
	return k;
}

int n;
lxl a[maxn],b[maxn];

int main()
{
	//freopen("P4777.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
	lxl M=a[1],ans=b[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		lxl a1=M,a2=a[i],bi=(b[i]-ans%a2+a2)%a2,x,y;
		lxl g=exgcd(a1,a2,x,y);
		a2/=g,bi/=g;
		x=times(x,bi,a2);
		ans+=M*x;
		M*=a[i]/g;
		ans=(ans+M)%M;
	}
	printf("%lld\n",(ans+M)%M);
	return 0;
}