中國剩餘定理
“有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。問物幾何?”——《孫子算經》
中國剩餘定理
即求多個同餘方程的解。
舉個栗子。求一個數x,使得:
\[\begin{cases} x≡2(mod 3)\\ x≡3(mod 5)\\ x≡2(mod 11)\end{cases}\]
設M=3511=165, a1=3,a2=5,a3=11,
M1=M/a1=55
M2=M/a2=33
M3=M/a3=15
然後我們再求a的逆元c。(擴充套件歐幾里得)
然後結果就是(a1M1c1 + a2M2c2 + a3M3c3)%M
當然,我們要求的不僅僅是符合3個數的要求。於是我們就可以得到程式碼:
(變數名和以上有出入)
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; typedef long long ll; void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y) { if(!b)d=a,x=1,y=0; else{ exgcd(b,a%b,d,y,x); y-=(a/b)*x; } } ll China(int n,ll *m,ll*a) { ll M=1,d,y,x=0; for(int i=0;i<n;i++)M*=m[i]; for(int i=0;i<n;i++){ ll w=M/m[i]; exgcd(m[i],w,d,d,y); x=(x+y*w*a[i])%M; } return (x+M)%M; } ll m[15],a[15]; int main() { int n; scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]); printf("%lld",China(n,m,a)); return 0; }
以上是中國剩餘定理的內容(CRT)
擴充套件中國剩餘定理(exCRT)
簡單來說就是對於每兩個同餘方程,我們可以把它們合併成一個同餘方程,並在每次計入一個新的同餘方程的時候得到新的解。我們理性地思考一下,如:
\[\begin{cases} x≡y_1(mod m_1)\\ x≡y_2(mod m_2)\\ ...\\ x≡y_n(mod m_n) \end{cases}\]
\[M=LCM_{i−1}^{k−1}mi \]
其中\(m_1,m_2,m_3...m_n\)為不一定兩兩互質的整數,求x的最小非負整數解.
假設前n-1項已經求出解為x,那麼對於第n個式子:
\[x+tM≡y_n(mod m_n) \]
M和yn、mn是已知的,我們只需exgcd求出x和t就行了。
或者我們把合併感性理解一下,假設原來只有一個同餘方程
\[x≡y_1(mod m_1)\Rightarrow x+k_1m_1=y_1 \]
我們再加入一個方程
\[x≡y_2(mod m_2)\Rightarrow x+k_2m_2=y_2 \]
兩者相減,得到
\[k_1m_1-k_2m_2=y_1-y_2 \]
再用exgcd解得\(k_1\)和\(k_2\)即可。那麼要求x的值回代即可。
那麼對於一個新加入的式子就有:
\[-k_1m_1+y_1+tm_3=k_3m_3+y_3 \]
(k1、m1和y1表示上次的x,用②式表示也可以)發現新的未知數是t和k3,重新用exgcd求解即可。
當然這裡只寫了三個式子。想要更多同餘方程組的解?請多次exgcd。這個思維和上面的思維是等價的。
洛谷P4777
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
bool w=0;ll x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const ll maxn=1e5+100;
ll y[maxn],m[maxn],n;
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &d){
if(!b)d=a,x=1,y=0;
else exgcd(b,a%b,y,x,d),y-=x*(a/b);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){
ll res=0;
while(b){
if(b&1)res=(res+a)%mod;
a=(a+a)%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
inline ll excrt()
{
ll xx,yy,k;
ll M=m[1],ans=y[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
ll a=M,b=m[i],c=(y[i]-ans%b+b)%b;//x≡y(mod m),ans為上一次的解。
ll gcd;
exgcd(a,b,xx,yy,gcd);//tM+km=y-x,c是常數項,xx和yy分別表示t和k
ll bg=b/gcd;//這個是為了exgcd的最後一個步驟,求解出最小非負整數解
if(c%gcd!=0) return -1;
xx=mul(xx,c/gcd,bg);
ans+=xx*M;
M*=bg;//M為前k個m的lcm
ans=(ans%M+M)%M;
}
return (ans%M+M)%M;
}
inline void cried()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)m[i]=read(),y[i]=read();
printf("%lld\n",excrt());
}
}
int main()
{
star::cried();
return 0;
}