中國剩餘定理，又叫孫子定理

中國剩餘定理是用來求解同餘方程組的

給定一堆兩兩互質的數，m1, m2, ..., mk

用M表示所有mi的乘積

再定義Mi =除了mi後，所有m的乘積。所以Mi和mi互質

這一步是用擴充套件歐幾里德演算法

求逆等價於特殊的方程，右邊不是b了，是1

由於m不一定是質數，所以用擴充套件歐幾里德演算法來求

先拿兩個式子為例，分析一下

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { //
 
擴充套件歐幾里德演算法模板
 5     if (!b) {
 6         x = 1;
 7         y = 0;
 8         return a;
 9     }
10     ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
11     y -= a / b * x;
12     return d;
13 }
14 int main() {
15     int n;
16     cin >> n;
17     bool has_answer = true;
18     ll a1, m1; //假設第一個方程是x mod a1 = m1
 
19     //要將兩個式子合併成x = k * a1 + m1的形式
20     cin >> a1 >> m1;
21     for (int i = 0; i < n - 1; i++) { //然後把剩餘方程合併入現有方程中
22         ll a2, m2; //假設新的方程是x mod a2 = m2
23         cin >> a2 >> m2;
24         //然後開始合併
25         //根據這個式子k1 * a1 - k2 * a2 = m2 - m1  (*)
26         ll k1, k2; //
 
要求出來上式的係數
27         ll d = exgcd(a1, a2, k1, k2); //d = a1和a2的最大公約數
28         if ((m2 - m1) % d) { //若*式無解
29             has_answer = false;
30             break;
31         }
32         //能走到這說明有解
33         //上面用拓展歐幾里德演算法求出來的實際是
34         //k1 * a1 - k2 * a2 = d的係數
35         k1 *= (m2 - m1) / d; //等式兩邊同時乘以
36         ll t = a2 / d; //根據k1 + k * (a2 / d)
37         //只要求出一個k1，就能求出其通解
38         //k1 + k * (a2 / d)
39         k1 = (k1 % t + t) % t; //然後把k1變成最小的正整數解
40         //要將兩個式子合併成x = k * a1 + m1的形式
41         m1 = a1 * k1 + m1;
42         a1 = abs(a1 / d * a2); //新式子的係數a1
43         
44     }
45     if (has_answer) {
46         cout << (m1 % a1 + a1) % a1 << endl;
47     } else { 
48         cout << -1 << endl;
49     }
50     return 0;
51 }