動態規劃的核心設計思想是數學歸納法。

數學歸納法思想：

　　比如我們想證明一個數學結論，那麼我們先假設這個結論在k<n時成立，然後根據這個假設，

想辦法推導證明出k=n的時候此結論也成立。如果能夠證明出來，那麼就說明這個結論對於k等於

任何數都成立。

設計動態規劃演算法：

　　找到了問題的「狀態」，使用一個dp陣列描述、儲存問題的狀態。假設dp[0...i-1]都已經被算

出來了，然後問自己：怎麼通過這些結果算出dp[i]？

對於本題，求最長遞增子序列，

1. 定義狀態：定義dp[i]表示以nums[i]這個數結尾的最長遞增子序列的長度。

2.處理 base case：dp[i]初始值為 1，因為以nums[i]

3.分析狀態轉移：假設 dp[0...i-1] 都已經被算出來了，然後問自己：怎麼通過這些結果算出 dp[i]？

dp[i] = dp[k]+1; dp[k]滿足以下條件：0=<k<i, nums[k]<nums[i], dp[k]是dp[o:i-1]中的最大值。若

沒有滿足條件的dp[k]，則dp[i] = 1 。具體參考程式碼中的處理。

按照以上思路，程式碼實現如下：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     //dp O(n^2)
 4     int lengthOfLIS(vector<int
 
>& nums)
 5     {
 6         if(nums.empty())
 7         {
 8             return 0;
 9         }
10         const int nums_len = nums.size();  
11         //base case 
12         vector<int> dp(nums_len,1);
13         int res = 1;
14         for(int i = 1;i<nums_len;++i)
15         {
16             for
 
(int j = 0;j<i;++j)
17             {
18                 if(nums[i]>nums[j])
19                 {
20                     dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
21                 }
22             }
23             res = max(res,dp[i]);
24         }
25         return res;
26     }
27    
28 };

至此，這道題就解決了，時間複雜度 O(N^2)。總結一下如何找到動態規劃的狀態轉移關係：

1、明確dp陣列所存資料的含義。這一步對於任何動態規劃問題都很重要，如果不得當

或者不夠清晰，會阻礙之後的步驟。

2、根據dp陣列的定義，運用數學歸納法的思想，假設dp[0...i-1]都已知，想辦法求出dp[i]，

一旦這一步完成，整個題目基本就解決了。

但如果無法完成這一步，很可能就是dp陣列的定義不夠恰當，需要重新定義dp陣列的含義；或者

可能是dp陣列儲存的資訊還不夠，不足以推出下一步的答案，需要把dp陣列擴大成二維陣列甚至三維陣列。