300. 最長遞增子序列

阿新 • • 發佈：2021-08-16

1. 題目

　　給你一個整數陣列 nums ，找到其中最長嚴格遞增子序列的長度。

　　子序列是由陣列派生而來的序列，刪除（或不刪除）陣列中的元素而不改變其餘元素的順序。例如，[3,6,2,7] 是陣列 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

2. 示例

示例1：

輸入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
輸出：4
解釋：最長遞增子序列是 [2,3,7,101]，因此長度為 4 。

示例2：

輸入：nums = [0,1,0,3,2,3]
輸出：4

示例3：

輸入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
輸出：1

3. 題解

　　2種解題思路：動態規劃、二分搜尋

3.1 動態規劃

　　動態規劃的核心思想是數學歸納法

　　設計動態規劃，首先需要一個dp陣列，假設dp[0....i - 1]都已經算出來了，然後問自己，怎麼通過這些結果算出dp[i]?

　　dp[i]表示以nums[i]這個數結尾的最長遞增子序列的長度。那麼以nums[i]結尾的最長遞增子序列起碼要包含它自己，即要找到前面序列結尾比nums[i]小的子序列，然後把nums[i]拼接上去，就形成了以nums[i]結尾的新的子序列，並在前面子序列的基礎上加1。

for j in range(0, i):
    if nums[i] > nums[j]:
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

　　最長子序列，只需要對dp陣列遍歷一次，取最大值即可。

for i in range(n):
    res = max(res, dp[i])

3.2 二分搜尋

　　二分搜尋相對來說，難度大一些。以陣列[10,9,2,5,3,7,101,18]為例，對其分堆。

　　首先10，對於第一個元素，單獨為堆，此時堆數res = 1;

　　元素9，從0堆開始找，9小於10，放入0堆，res=1；

　　元素2，從0堆開始找，2小於9，放入0堆，res=1；

　　元素5，從0堆開始找，5大於2，此時只有堆0，那麼需要再次建立一個堆來存放，res+=1，res=2；

　　元素3，從0堆開始找，3大於2，再找第1堆，3小於5，放入，res=2；

　　元素7，7大於2，7大於3，建立新堆，第2堆堆頂元素為7，res=3；

　　元素101，大於0，1，2堆頂元素，建立新堆，res=4；

　　元素18，大於0,1,2堆頂元素，放入第3堆，res=4；

　　輸出結果：4（堆的個數就是最長子序列的長度，因為在後面堆裡面一定能找到小於等於前面元素）。

4. Code實現

4.1 動態規劃

 1 class Solution:
 2     # 動態規劃
 3     def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
 4         if len(nums) <= 1:
 5             return len(nums)
 6         n = len(nums)
 7         dp, res = [1 for _ in range(n)], 0
 8         for i in range(n):
 9             for j in range(0, i):
10                 if nums[i] > nums[j]:
11                     dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
12             res = max(res, dp[i])
13         return res

4.2 二分搜尋

 1 class Solution:
 2 # 二分搜尋
 3     def lengthOfLISB(self, nums: List[int]) -> int:
 4         n = len(nums)
 5         if n < 2:
 6             return n
 7         top = [0 for _ in range(n)]
 8         # 堆數
 9         res = 0
10         for i in range(n):
11             # 要處理的牌
12             cur = nums[i]
13             # 搜尋左邊界的二分搜尋
14             left, right = 0, res
15             while left < right:
16                 mid = (left + right) // 2
17                 if top[mid] > cur:
18                     right = mid
19                 elif top[mid] < cur:
20                     left = mid + 1
21                 else:
22                     right = mid
23             # 沒找到合適的堆，新建一堆
24             if left == res:
25                 res += 1
26             top[left] = cur
27         return res