T2 :

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e5+10;
ll s[maxn],js[maxn],inv[maxn];
int cnt[40];
int k,n;

ll ksm(ll a,ll k,ll q)
{
    ll temp=1;
    while(k)
    {
        if(k&1
 
) temp=temp*a%mod;
        a=a*a%mod;
        k>>=1;
    }
    return temp;
}
ll C(ll a,ll b)
{
    if(a<0||b<0||a>b) return 0;
    return js[b]*inv[a]%mod*inv[b-a]%mod;
}
int main()
{
    freopen("card.in","r",stdin);
    freopen("card.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    js[
 
0]=1;inv[0]=1;
    k--;//因為異或最開始的時候需要有一個初始值，根據初始值的1來分類
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&s[i]);
        js[i]=js[i-1]*i%mod;
        for(int j=0;s[i];j++,s[i]>>=1) cnt[j]+=(s[i]&1);//取出每一位有多少個1
    }
    inv[n]=ksm(js[n],mod-2,mod);//注意這裡是計算inv
    //printf("%d \n",js[n]);
    for
 
(int i=n;i>=1;i--) inv[i-1]=inv[i]*i%mod;//
    //for(int i=0;i<31;i++) printf("%d ",inv[i]);
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<32;i++)
    {
        ll s1=0,s2=0;
        for(int j=0;j<=k;j+=2) s1=(s1+C(j,cnt[i]-1)*C(k-j,n-cnt[i])%mod)%mod;//如果第一個初始的該位置上面是'1'的話，那麼就需要再來偶數個1就可以//此時可以選擇的奇數數就少了一個
        for(int j=1;j<=k;j+=2) s2=(s2+C(j,cnt[i])*C(k-j,n-cnt[i]-1)%mod)%mod;//奇數同理
        ans=(ans+(1ll<<i)*(s1*cnt[i]%mod+s2*(n-cnt[i])%mod))%mod;
    }
    printf("%lld",ans*ksm(k+1,mod-2,mod)%mod);//這裡在注意一下，因為在k張牌當中，我們選擇任意一張作為起始都是可以的，所以說多算了k次，
    return 0;
}
 

思路分析：

• 對於位運算的題目一定是運用位運算和二進位制拆分（因為n<32）來進行求解
• 關於這種有關二進位制位的運算
  我們照例是對每一位進行考慮
• 要抓住位運算的本質特徵：異或就在於只有奇數個1相互異或才有意義
• 但同時我們要進行分類討論，對於第一個選擇數的初始值來判斷
• 最後再減去多餘情況
• 一道非常棒的組合數練習題

T4：斜率優化：

• 本質是在【max或者min的操作下】對dp的遞推式子進行一定的改寫，在計算每一個狀態f(i)時利用單調佇列或者單調棧在橫座標單調性和斜率來判斷決策j之間的優劣關係，在O（n）的時間內求解線性方程
• 斜率優化要注意三個地方：
• 1.如何建立橫座標之間的單調性
• 2.f(i)的計算式
• 3.詢問斜率的構建式子
• 4.考慮怎樣的同一類j可以轉移到i上面
• 具體步驟：只含LL的項對於每一個ii的擇優篩選過程都是完全一樣的值，只含Function(i)的項在一次ii的擇優篩選過程中不變，含Function(j)的項可能會不斷變化（在本題中表現為為嚴格單增）。
  我們以此為劃分依據，把同類型的項用括號括起來，即：
• 第一步，求解出對應的dp方程，dp[i]=..dp[j]此時方程左邊通常有一些Fun(i)*Fun(j)的形式，此時單調佇列就沒有辦法優化
• 接下來可以分兩部分走：根據斜率優化出來的遞推式子
• 我們需要化簡成DP(j)=.....f(j) .....+fun(i)+dp(i)....的形式
• 然後就可以化簡成Y（和決策j相關）=K（詢問斜率，和i相關）X（具有單調性的某一個量，一般隨著i或者j的變化而變化）+B（i相關，表示出線性規劃就是球截距最小）的形式
• 記住一句話：狀態點的斜率是用(y,x)來表示的兩個點所計算出來的狀態，而詢問斜率則是判斷式子中的K（和i有關的量）在決策判斷式的幫助下維護佇列首或者棧首的最優化決策
• 以玩具裝箱問題的dp方程為例子：
• 2.1研究兩個決策之間的單調性質：具體來講（也就是代數法）

此時我們就知道了對於同一個狀態i，兩個決策點j1，j2在哪一種狀態下能夠計算出更優答案f(i)

• 此時根據決策優劣的判斷：

  可以證明出，我們需要維護一個下凸包，並且在某個點k1<k k2>2的節點取到最優點

• 2.2:直接根據式子進行化簡：
• 回到最開始的問題，斜率優化我們需要兩個部分，一個是決策的優劣根據斜率的不等式求解，一個是橫座標的單調性保證了下凸包的維護
• 這一題當中，根據移項我們可以得到

• 注意這一個式子：三個要素 決策點（），詢問斜率以及他的單調性，橫座標的單調性：
• 發現橫座標不具有單調性，這個時候我們需要探究決策的單調性來構造橫座標的單調性
• 對於兩個j1<j2，如果說v1>v2，那麼，我們可以由j1->i,肯定不如j1->j2->i來的更優，這就保證了橫座標v一定出現在了座標軸的最右端
• 之後維護下凸殼，根據詢問斜率遞減，那麼把比詢問斜率大的部分都刪掉，就可以保證了

• 實際上只要讓維護的凸包方向相同，兩種思考方式的程式碼是一模一樣的。

  用單調佇列維護凸包點集，操作分三步走：
  (1).(1).進行擇優篩選時，在凸包上找到最優決策點jj。
  (2).(2).用最優決策點jj更新dp[i]dp[i]。
  (3).(3).將ii作為一個決策點加入圖形並更新凸包（如果點ii也是dp[i]dp[i]的決策點之一，則需要將(3)(3)換到最前面）。

  在本題中步驟(3)(3)的具體操作為：判斷當隊尾的點與點ii形成可刪點圖形時，出隊直至無法再刪點，然後將ii加入佇列。

  在判斷可刪圖形時有兩種方法（以 下凸包 為例），一種是slope(Q[t-1],Q[t])<=slope(Q[t],i)，另一種是slope(Q[t-1],Q[t])<=slope(Q[t-1],i)，都表示出現了可以刪去點Q[t]Q[t]的情況（只要對邊界、去重的處理足夠嚴謹，兩種寫法是沒有區別的）。其中QQ是維護凸包點集的佇列。

  該做法時間複雜度為O(nlogn)O(nlog⁡n)，瓶頸在於二分尋找最優決策點。

關於斜率優化的一些性質：

五.【各種玄學問題】

(ノ°ο°)ノ前方高能預警 (＊°ω°＊)ノ"非戰鬥人員請撤離!! ＊・_・)ノ

(1).(1).寫出dpdp方程後，要先判斷能不能使用斜優，即是否存在function(i)∗function(j)function(i)∗function(j)的項或者Y(j)−Y(j′)X(j)−X(j′)Y(j)−Y(j′)X(j)−X(j′)的形式。

(2).(2).通過大小於符號或者bb中dp[i]dp[i]的符號結合題目要求(min/max)(min/max)判斷是上凸包還是下凸包，不要見一個方程就直接盲猜一個下凸。

(3).(3).當X(j)X(j)非嚴格遞增時，在求斜率時可能會出現X(j1)=X(j2)X(j1)=X(j2)的情況，此時最好是寫成這樣的形式：return Y(j)>=Y(i)?inf:-inf，而不要直接返回infinf或者−inf−inf，在某些題中情況較複雜，如果不小心畫錯了圖，返回了一個錯誤的極值就完了，而且這種錯誤只用簡單資料還很難查出來。

(4).(4).注意比較k0[i]k0[i]和slope(j1,j2)slope(j1,j2)要寫規範，要用右邊的點減去左邊的點進行計算（結合(3)(3)來看，可防止返回錯誤的極值），如果用的代數法理解，寫出了(X(j2)-X(j1))*k0<=Y(j2)-Y(j1)或(X(j2)-X(j1))*k0<=Y(j2)-Y(j1)，而恰巧j1,j2j1,j2又寫反了，便會出現等式兩邊同除了負數卻沒變號的情況。當然用k0k0和Y(j2)−Y(j1)X(j2)−X(j1)Y(j2)−Y(j1)X(j2)−X(j1)進行比較是沒有這種問題的。

(5).(5).佇列初始化大多都要塞入一個點P(0)P(0)，比如玩具裝箱toytoy，需要塞入P(S[0],dp[0]+(S[0]+L)2)P(S[0],dp[0]+(S[0]+L)2)即P(0,0)P(0,0)，其代表的決策點為j=0j=0。

(6).(6).手寫佇列的初始化是h=1,t=0，由於塞了初始點導致tt加11，所以在一些題解中可以看到h=t=1甚至是h=t=0，h=t=2之類的寫法，其實是因為省去了塞初始點的程式碼。它們都是等價的。

(7).(7).手寫佇列判斷不為空的條件是h<=t，而出入隊判斷都需要有至少22兩個元素才能進行操作。所以應是h<t。

(8).(8).計算斜率可能會因為向下取整而出現誤差，所以slopeslope函式最好設為longlongdoubledouble型別。

(9).(9).有可能會有一部分的dpdp初始值無法轉移過來，需要手動提前弄一下，例如擺渡車[P5017][P5017]。

(10).(10).在比較兩個斜率時，儘量寫上等於，即<=和>=而不是<和>。這樣寫對於去重有奇效（有重點時會導致斜率分母出鍋），但不要以為這樣就可以完全去重，因為要考慮的情況可能會非常複雜，所以還是推薦加上(3)(3)中提到的特判，確保萬無一失。