Problem

題目描述
給定一個字串 \(S\) ，先將字串 \(S\) 複製一次(變成雙倍快樂)，得到字串 \(T\) ，然後在 \(T\) 中插入一個字元，得到字串 \(U\) 。

給出字串 \(U\) ，重新構造出字串 \(S\) 。

輸入格式
第一行一個整數 \(N\) ，表示字串 \(U\) 的長度。

第二行一個長度為 \(N\) 的字串，表示字串 \(U\) 。

輸出格式
一行一個字串，表示字串 \(S\) 。

特別地:
如果字串無法按照上述方法構造出來，輸出 NOT POSSIBLE；
如果字串 不唯一，輸出 NOT UNIQUE。

Solution

前置知識

這道題用到的方法是進位制 \(hash\)

const int MAXN = 1005;
char s[MAXN];
int hash[MAXN], k;

scanf("%s", s + 1);
for (int i = 1; i <= strlen(s + 1); i++) {
	hash[i] = hash[i - 1] * k + s[i]; //將字串轉化為 k 進位制數
}

當我們要求一段子串（或者說是一段區間）的 \(hash\) 值時又該怎麼辦呢？

設這段子串在 \([l,r]\) ，而
\(hash[l] = hash[l-1]*k+s[l]\)

\(hash[l+1] = hash[l]*k+s[l+1] = (hash[l-1]*k+s[l])*k+s[l+1]=hash[l-1]*k^2+s[l]*k+s[l+1]\)

\(…\)

容易知道 \(hash[l+1]\) 中包含了 \(hash[l-1]*k^{l+1-l+1}\) 和 \([l,l+1]\) 的 \(hash\) 值。同理 \(hash[r]\) 中包含了 \(hash[l-1]*k^{r-l+1}\) 和 \([l,r]\) 的 \(hash\) 值，所以求\([l,r]\) 的 \(hash\) 值可以用 \(hash[r]\) 減去 \(hash[l-1]*k^{r-l+1}\)。

int Get_Hash(int l, int r) {
	return hash[r] - hash[l - 1] * pre[r - l + 1]; //pre[i]=k^i
}
 

從這個問題可以擴充套件到另一個問題，求 \([l,r]\) 刪除下標位 \(x\) 的字元後的 \(hash\) 值。
對於這個問題我們可以先 \([l,x-1],[x+1,r]\) 的 \(hash\) 值，然後將 \(hash(l,k-1)*k^{r-(x+1)+1}\) 與 \(hash(x+1,r)\) 相加即可。這個的道理和求 \(hash\)，減去 \(hash[l-1]*k^{r-l+1}\) 是一樣的。

int Get_Sum(int l, int r, int k) {
	return Get_Hash(l, k - 1) * pre[r - k] + Get_Hash(k + 1, r);
}

知道了這兩個問題如何求解就可以輕鬆解決本題了。

思路

很容易知道 \(N\) 為偶數時是一定不行的

首先按照字元的位置可以分為兩種個情況：

1. 在 \([1,(N+1)/2]\)
   若在這之間，則 \(S\) 就是 \(s[(N+1)/2+1——N]\)
   我們可以 \([1,(N+1)/2]\) 做迴圈，列舉字元的位置，然後根據 \(hash\) 值來判斷是否相等

string str1, ans1;

int mid = (N + 1) / 2;
for (int i = mid + 1; i <= n; i++) {
		str1.push_back(s[i]);
	}
for (int i = 1; i <= mid; i++) {
		if (Get_Sum(1, mid, i) == Get_Hash(mid + 1, n)) {
			ans++;
			ans1 = str1;
			break;
		} 
	}

2. 在 \([(N+1)/2,N]\)
   若在這之間，則 \(S\) 就是 \(s[1——(N+1)/2-1]\)
   同理。

string ans2, str2;

int mid = (N + 1) / 2;
for (int i = 1; i < mid; i++) {
		str2.push_back(s[i]);
	}
for (int i = mid; i <= n; i++) {
		if (Get_Sum(mid, n, i) == Get_Hash(1, mid - 1)) {
			ans++;
			ans2 = str2;
			break;
		}
	}

在這之後，需要分出三種情況：無解？唯一解？多解？

1.當 \(ans == 0\) 一定無解，直接輸出NOT POSSIBLE
2.當 \(ans==1\) 或 \(ans1 == ans2\)， 即兩種情況下只有一種或者兩種情況得到的是相同的解都是輸出 \(ans1/ans2\).
3.上述兩種情況都不滿足，就肯定是多解了，輸出NOT UNIQUE

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 2e6 + 5;
#define base 131
#define ull unsigned long long

int n, mid, ans;
string str1, str2, ans1, ans2;
char s[MAXN];
ull tmpl, tmpr;
ull pre[MAXN], hash[MAXN];

ull Get_Hash(int l, int r) {
	return hash[r] - hash[l - 1] * pre[r - l + 1];
}

ull Get_Sum(int l, int r, int k) {
	return Get_Hash(l, k - 1) * pre[r - k] + Get_Hash(k + 1, r);
}

int main() {
	scanf("%d %s", &n, s + 1);
	mid = (n + 1) >> 1;
	if (!(n & 1)) {
		return printf("NOT POSSIBLE"), 0;
	}
	pre[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		pre[i] = pre[i - 1] * base;
		hash[i] = hash[i - 1] * base + (s[i] - 'A' + 1);
	}
	
	tmpr = Get_Hash(mid + 1, n);
	for (int i = mid + 1; i <= n; i++) {
		str1.push_back(s[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= mid; i++) {
		tmpl = Get_Sum(1, mid, i);
		if (tmpl == tmpr) {
			ans++;
			ans1 = str1;
			break;
		} 
	}
	
	tmpl = Get_Hash(1, mid - 1);
	for (int i = 1; i < mid; i++) {
		str2.push_back(s[i]);
	}
	for (int i = mid; i <= n; i++) {
		tmpr = Get_Sum(mid, n, i);
		if (tmpl == tmpr) {
			ans++;
			ans2 = str2;
			break;
		}
	}
	
	if (!ans) printf("NOT POSSIBLE");
	else if (ans == 1 || ans1 == ans2) cout << (ans1.size() ? ans1 : ans2);
	else printf("NOT UNIQUE");
	return 0;
}