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\(\mathtt{Summarization}\)

給定兩個長度都為 \(n\) 的序列，求交換兩個陣列中相鄰數，使得 \(\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2\) 最小化的最小步數。

\(\mathtt{Solution}\)

這題分為兩個部分，

• 第一個部分是，使得 \(\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2\) 最小化的順序是什麼？
• 第二個部分是，調整到這種順序最少需要多少步？

那咱們先解決第一個部分再來解決第二個部分：

\(\mathcal{Part 1}\)

看這個式子覺得毫無頭緒，不如咱們用完全平方差拆開一下這個式子：

\[\begin{aligned} & \sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2 \\ = & \sum_{i=1}^n({a_i} ^ 2 -2a_ib_i+ {b_i} ^ 2) \\ = & \sum_{i=1}^n{a_i} ^ 2 -\sum_{i=1}^n2a_ib_i + \sum_{i=1}^n{b_i} ^ 2 \\ = & \sum_{i=1}^n{a_i} ^ 2 + \sum_{i=1}^n{b_i} ^ 2 - 2\sum_{i=1}^na_ib_i \end{aligned} \]

顯然，無論怎麼調整 \(a\) 和 \(b\)

的順序，\(\sum_{i=1}^n{a_i} ^ 2 + \sum_{i=1}^n{b_i} ^ 2\) 總是定值。因此，題目要求的式子的值只與 \(\sum_{i=1}^na_ib_i\) 有關，也就是要讓這個式子取最大值。（注意是最大值，不是最小值。因為原式子中是減它）

有一個定理，當 \(a\)，\(b\) 中對於每一個位置 \(i\) 都有 \(a_i\) 是 \(a\) 中第 \(k\) 小的，而 \(b_i\) 也是 \(b\) 中第 \(k\) 小的時，\(\sum_{i=1}^na_ib_i\) 最大。（本題已經規定所有火柴高度都是正整數了）

簡證：（預設 \(a, b\)

所有數都是正整數，因為資料範圍已經體現）取 \(a_1 \le a_2, b_1 \le b_2\)， 可得 \(a_2(b_2-b_1) \ge a_1(b_2-b_1)\)。把這個式子變一下形可以得到：\(a_1b_1+a_2b_2 \ge a_1b_2+a_2b_1\)。推廣這個結論到多個數便可以得到結論了。

好，現在我們已經知道最優的情況是怎麼排列了，讓同一個位置的兩個陣列中的數在原陣列中的大小地位相同即可。那麼調換的最小步數又該怎麼求呢？我們進入第二部分：

\(\mathcal{Part2}\)

我們可以考慮這樣一種做法，

• 記錄每個火柴（數字）的編號和地位。（編號指之前在這個序列的第幾號，地位指是這個序列的第幾小的）（此處可以用結構體實現，待會code實現就明白了）
• 定義一個新陣列 \(q\)，規定下標為 A火柴中地位為 \(i\) 的編號 的值為B火柴中地位為 \(i\) 的編號。那麼 \(q\) 陣列中的逆序對數量就是答案。

估計你此刻一定有114514個問題要問，別急，蟹蟹舉個例子慢慢說。

就按照樣例1來吧：

2 3 1 4
3 2 1 4

那麼將 \(a, b\) 排序，此時位於第 \(i\) 個位置上的數就是地位為 \(i\) 的數了。

排序後進行處理：

2 3 1 4 -> 1 2 3 4 -> 原編號：3 1 2 4
3 2 1 4 -> 1 2 3 4 -> 原編號：3 2 1 4

牢記這個式子：q[a[i].num] = b[i].num;

可得

q[a[1].num] = b[1].num -> q[3] = 3
q[a[2].num] = b[2].num -> q[1] = 2
q[a[3].num] = b[3].num -> q[2] = 1
q[a[4].num] = b[4].num -> q[4] = 4

q陣列的值分別為：2 1 3 4

q陣列中共有1個逆序對（2， 1）

因此答案為 1

好，現在你應該理解這個方法是什麼意思了，接下來我們來看為什麼這樣做是對的。

首先，我們來看逆序對的定義。

\(i < j, a_i > a_j\)

轉化為此題中的 \(q\) 陣列，就可以說a[i].num > a[j].num, b[i].num < b[j].num。這說明了什麼？我們以a為基準調整b，那麼b[i]和b[j]的順序就是反的，需要別過來。

還有一個定理，如果要讓有 \(p\) 個逆序對的序列通過兩兩交換變成上升序列，那麼需要操作 \(p\) 次。（可以從必有逆序對緊挨定理得出，每次交換緊挨的逆序對即可）

那麼就可以得出答案就和 \(q\) 陣列逆序對數量相等了。

如何求逆序對數量？

https://www.luogu.com.cn/problem/P1908

\(\mathtt{Code}\)

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-11-01 17:04:02 
 * @Last Modified by:   crab-in-the-northeast 
 * @Last Modified time: 2020-11-01 17:04:02 
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int maxn = 100005;
const int mod = (int)1e8 - 3;

struct match {
    int height;
    int num;
    const bool operator < (match &b) {
        return this -> height < b.height;
    }
}a[maxn], b[maxn];

long long ans = 0;
int q[maxn], tmp[maxn];

void merge_sort(int l, int r) {
    if (l == r)
        return ;
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(l, mid);
    merge_sort(mid + 1, r);

    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i] <= q[j])
            tmp[k++] = q[i++];
        else {
            tmp[k++] = q[j++];
            ans = (ans - i + mid + 1) % mod;
        }
    }

    while (i <= mid)
        tmp[k++] = q[i++];
    while (j <= r)
        tmp[k++] = q[j++];
    
    for (int i = l; i <= r; ++i)
        q[i] = tmp[i];
    return ;
}

int main() {
    int n;
    std :: scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        std :: scanf("%d", &a[i].height);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        std :: scanf("%d", &b[i].height);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i].num = b[i].num = i;
    
    std :: sort(a + 1, a + 1 + n);
    std :: sort(b + 1, b + 1 + n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        q[a[i].num] = b[i].num;
    merge_sort(1, n);
    std :: printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

\(\mathtt{More}\)

這種問題一看就是要分Part討論的，要注意分Part討論的題一定不要合在一起討論。不然你會亂！！

然後看到相鄰交換使得序列有序之類的，就要從逆序對數量這個角度考慮了。（雖然這種情況有點特殊）