orz duck！

Description

在一個 \(n\) 行 \(m\) 列的矩陣裡放積木。要求：一塊積木只能放在一行，一行中相鄰的積木中間至少有一個間隔，第一行至少有一塊積木，第 \(n\) 行積木長度為 \(m\)。求所有滿足條件的方案的積木數平方和。

Solution

注意到原題範圍 \(n,m\leq 5\times 10^3\) 太小了，考慮加強 \(\rightarrow~n,m\leq 10^{18}\)。

首先把這個第一行至少有一塊積木的限制去掉，記 \(f_n\) 表示最高積木高度小於等於 \(n\) 的積木數平方和，則答案即為 \(f_n - f_{n-1}\)。

對於一個積木的高度序列 \(\{a_m\}\)

把那個 \(\max\) 拆開，得到：

然後分類討論 \(i,j\) 的情況，分 \(i=j\)，\(|i-j|=1\)，\(|i-j|>1\) 討論，其中 \(i=1\) 或 \(j=1\) 還要進一步討論。

注意到每種情況都是一個關於 \(n\) 的低次多項式，可以使用拉格朗日插值減少計算。

Code

（整數類模板省略）

const int MOD = 998244353;

inline Z suan1(Z N) { return N * 166374059 + N * N * 499122177 + (N ^ 3) * 332748118; }
inline Z suan2(Z N) { return N * N * 415935147 + (N ^ 4) * 582309206; }
inline Z suan3(Z N) { return N * 415935147 + N * N * 707089750 + (N ^ 3) * 582309206 + (N ^ 4) * 291154603; }
inline Z suan4(Z N) { return N * N * 415935147 + (N ^ 3) * 415935147 + (N ^ 4) * 582309206 + (N ^ 5) * 582309206; }
inline Z suan5(Z N) { return N * 432572553 + (N ^ 3) * 707089750 + (N ^ 5) * 856826403; }
inline Z suan6(Z N) { return N * N * 859599304 + (N ^ 4) * 277290098 + (N ^ 6) * 859599304; }

int n, m;

inline Z calc(int n, int m) {
	if (!n) return Z(0);
	if (n == 1) return Z(1);
	Z N(n), M(m), ans = suan1(N) / N;
	if (m > 1) ans += (M - 1) * suan2(N) / (N * N);
	if (m > 1) ans += 2 * suan3(N) / (N * N);
	if (m > 2) ans += 2 * (M - 2) * suan4(N) / (N ^ 3);
	if (m > 2) ans += 2 * (M - 2) * suan5(N) / (N ^ 3);
	if (m > 3) ans += (M - 2) * (M - 3) * suan6(N) / (N ^ 4);
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &m, &n);
	Z ans = calc(n, m) * (Z(n) ^ m) - calc(n - 1, m) * (Z(n - 1) ^ m);
	printf("%d\n", ans.x);
	return 0;
}
 

事實上如果真的要做 \(n,m\leq 10^{18}\) 這份程式碼還要作億點改動（因為大於模數了）但是由於懶就不想管了