題目描述

給你 n 個非負整數 a1，a2，...，an，每個數代表座標中的一個點(i,ai) 。在座標內畫 n 條垂直線，垂直線 i的兩個端點分別為(i,ai) 和 (i, 0)。找出其中的兩條線，使得它們與x軸共同構成的容器可以容納最多的水。

說明：你不能傾斜容器，且n的值至少為 2。

​

圖中垂直線代表輸入陣列 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情況下，容器能夠容納水（表示為藍色部分）的最大值為49。

示例：

輸入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
輸出：49

來源：力扣（LeetCode） 連結：https://leetcode-cn.com/problems/container-with-most-water

解題思路

雙指標
說明

本題是一道經典的面試題，最優的做法是使用「雙指標」。如果讀者第一次看到這題，不一定能想出雙指標的做法。

分析

我們先從題目中的示例開始，一步一步地解釋雙指標演算法的過程。稍後再給出演算法正確性的證明。

題目中的示例為：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
在初始時，左右指標分別指向陣列的左右兩端，它們可以容納的水量為 min(1, 7) * 8 = 8。

此時我們需要移動一個指標。移動哪一個呢？直覺告訴我們，應該移動對應數字較小的那個指標（即此時的左指標）。這是因為，由於容納的水量是由 兩個指標指向的數字中較小值∗指標之間的距離

有讀者可能會產生疑問：我們可不可以同時移動兩個指標？ 先別急，我們先假設 總是移動數字較小的那個指標 的思路是正確的，在走完流程之後，我們再去進行證明。

所以，我們將左指標向右移動：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此時可以容納的水量為 min(8,7)∗7=49。由於右指標對應的數字較小，我們移動右指標：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此時可以容納的水量為 min(8,3)∗6=18。由於右指標對應的數字較小，我們移動右指標：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此時可以容納的水量為 min(8,8)∗5=40。兩指標對應的數字相同，我們可以任意移動一個，例如左指標：
[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
^ ^
此時可以容納的水量為 min(6,8)∗4=24。由於左指標對應的數字較小，我們移動左指標，並且可以發現，在這之後左指標對應的數字總是較小，因此我們會一直移動左指標，直到兩個指標重合。在這期間，對應的可以容納的水量為：min(2, 8) * 3 = 6，min(5,8)∗2=10，min(4,8)∗1=4。

在我們移動指標的過程中，計算到的最多可以容納的數量為 49，即為最終的答案。

證明

為什麼雙指標的做法是正確的？

雙指標代表了什麼？

雙指標代表的是 可以作為容器邊界的所有位置的範圍。在一開始，雙指標指向陣列的左右邊界，表示 陣列中所有的位置都可以作為容器的邊界，因為我們還沒有進行過任何嘗試。在這之後，我們每次將 對應的數字較小的那個指標 往 另一個指標 的方向移動一個位置，就表示我們認為 這個指標不可能再作為容器的邊界了。

為什麼對應的數字較小的那個指標不可能再作為容器的邊界了？

在上面的分析部分，我們對這個問題有了一點初步的想法。這裡我們定量地進行證明。

考慮第一步，假設當前左指標和右指標指向的數分別為 x 和 y，不失一般性，我們假設 x≤y。同時，兩個指標之間的距離為 t。那麼，它們組成的容器的容量為：min(x,y)∗t=x∗t

我們可以斷定，如果我們保持左指標的位置不變，那麼無論右指標在哪裡，這個容器的容量都不會超過 x∗t 了。注意這裡右指標只能向左移動，因為 我們考慮的是第一步，也就是 指標還指向陣列的左右邊界的時候。

我們任意向左移動右指標，指向的數為 y1，兩個指標之間的距離為 t1，那麼顯然有 t1 < t，並且min(x,y1)≤min(x,y)：

如果 y1≤y，那麼 min(x,y1)≤min(x,y)；

如果 y1>y，那麼 min(x,y1)=x=min(x,y)。

因此有：

min(x,yt)∗t1<min(x,y)∗t

即無論我們怎麼移動右指標，得到的容器的容量都小於移動前容器的容量。也就是說，這個左指標對應的數不會作為容器的邊界了，那麼我們就可以丟棄這個位置，將左指標向右移動一個位置，此時新的左指標於原先的右指標之間的左右位置，才可能會作為容器的邊界。

這樣以來，我們將問題的規模減小了 1，被我們丟棄的那個位置就相當於消失了。此時的左右指標，就指向了一個新的、規模減少了的問題的陣列的左右邊界，因此，我們可以繼續像之前 考慮第一步 那樣考慮這個問題：

求出當前雙指標對應的容器的容量；

對應數字較小的那個指標以後不可能作為容器的邊界了，將其丟棄，並移動對應的指標。

最後的答案是什麼？

答案就是我們每次以雙指標為左右邊界（也就是「陣列」的左右邊界）計算出的容量中的最大值。

（思路來源：力扣（LeetCode）連結：https://leetcode-cn.com/problems/container-with-most-water/solution/sheng-zui-duo-shui-de-rong-qi-by-leetcode-solution/）

解題程式碼

複雜度分析

• 時間複雜度：O(N)，雙指標總計最多遍歷整個陣列一次。

• 空間複雜度：O(1)，只需要額外的常數級別的空間。

class Solution {
    public int maxArea(int[] height) {
        int l=0,r=height.length - 1;
        int area = 0;
        while(l<r) {
            int a = Math.min(height[l],height[r])*(r-l);
            area = Math.max(area, a);
            if(height[l] > height[r]) {
                r--;
            } else {
                l++;
            }
        }
        return area;
    }
}