快速冪

閒扯

本蒟蒻數學不好(• ̀ω•́ )✧，想寫一篇快速冪的題解讓自己對其的瞭解更加深入。

演算法

題面

洛谷P1226快速冪

題目描述

給你三個整數\(b, p, k\)求 \(b ^ p \mod k\)

輸入格式

輸入只有一行三個整數，分別代表\(b, p, k\)

輸出格式

輸出一行一個字串\(b ^ p \mod k = s\) ，其中\(b, p, k\)分別為題目給定的值，\(s\)為運算結果。

演算法

我們在進行冪運算的時候將\(a\)自乘一次得到\(a ^ 2\)，再把\(a ^ 2\)自乘一次變為\(a ^ 4\)，接下來\(a ^ 8\)……，自乘\(n\)次後就變為了\(a ^ {2n}\)

，冪運算還有這樣的一種原理\(a ^ xa ^ y = a^{x + y}\)。最重要的是下一點，我們要求出的是\(a ^ b\)，在這裡我們將\(b\)轉化成二進位制看一下，假設\(b = (39)_10\)等同於\(b = (100111)_2\)，這些\(1\)分別代表十進位制中的\(32， 4， 2， 1\)，那麼\(a ^ {39} = a ^ {32} \times a ^ 4 \times a ^ 2 \times a ^ 1\)。這樣來表示的話我們就可以大大降低時間複雜度到\(O(log_2n)\)。
那麼程式碼應該如何實現呢？首先我們定義一個初始值\(base = a\)和\(ans = 1\)來記錄結果。我們通過一個\(while(b > 0)\)的迴圈來進行計算，我們的想法是當\(b\)在二進位制表示下的第\(i\)位如果為\(1\)那麼的話\(ans *= base;\)如果為\(0\)的話則繼續，同時無論哪種情況都要\(base *= 2\)使他自己變成平方，這時我們就需要用到一種神奇的方法來判斷第\(i\)位到第是什麼表示為\(if(b\) & \(i)\),&為按位與的意思，即為當兩者都是\(1\)的時候才會返回\(1\)否則返回\(0\)，非常的巧妙；同時\(b >>= 1\)這個意思是\(b\)在二進位制的表示下向右移一位，\((100111)_2 <<= (10011)_2\)這樣進行操作直到\(b\)變為\(0\)。同時注意需要在每一步進行的同時\(/mod k\)，這樣才不會使答案溢位。

程式碼實現

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long b,q,k;
long long quickpower(long long a,long long b){
	long long ans=1,base=a;
	while(b > 0){
		if(b & 1) ans=ans*base%k;
		base=base*base%k;
		b >>=1;
	}
	return ans;
}

int main(){
	cin>>b>>q>>k;
	int ans=quickpower(b,q);
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",b,q,k,ans%k);
	return 0;
}

完結撒花ヾ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ