演算法

暴力列舉+拓歐檢查

思路

兩個野人\(i\)與\(j\)會相遇，當且僅當方程\(c_i + xp_i \equiv c_j + xp_j(mod M)\)有正整數解且該解\(\leq min(l_i,l_j)\)。

又發現題目中保證 \(M \leq 1e6\)，於是就可以愉快的暴力枚舉了。

而上面的方程可以化為\(x(p_i - p_j) \equiv c_j - c_i(mod M)\)，即求不定方程\((p_i - p_j)x + My = c_j-c_i\)的正整數解，可以使用拓展歐幾里得定理。

複雜度：\(O(Mn^2logC_i)\)。

Tips

• \(M\)是不單調的，所以不能二分！
• \(M\)不能從\(1\)開始列舉，而要從\(max(c_i)\)開始，畢竟每個野人都得有地方住。
• 要是不會拓歐的，可以康康這篇部落格。

參考程式碼

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n,ans;
struct Peo{
    int c,p,l;
}p[20];

bool cmp(Peo x, Peo y){return x.p > y.p;}

int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int tmp = ex_gcd(b, a % b, x, y);
    int ret = x - (a / b) * y;
    x = y, y = ret;
    return tmp;
}

int main(){
    int Max = 0;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
        scanf("%d%d%d", &p[i].c, &p[i].p, &p[i].l), Max = max(Max, p[i].c);
    sort(p + 1, p + 1 + n, cmp);
    for(ans = Max; ans <= ((int)1e6 + 10); ++ ans){
        int flag = 1;
        for(int i = 1; i < n; ++ i){
            for(int j = i + 1; j <= n; ++ j){
                int a = p[i].p - p[j].p, b = ans, c = p[j].c - p[i].c, x = 0, y = 0;
                int val = ex_gcd(a, b, x, y);
                if(c % val != 0) continue;
                int minn = (c / val * x % (b / val) + b / val) % (b / val);
                if(minn <= min(p[i].l, p[j].l)){
                    flag = 0;
                    break;
                } 
            }
            if(!flag) break;
        }
        if(flag) return printf("%d\n", ans), 0;
    }
    return 0;
}