P1066 2^k進位制數
P1066 2^k進位制數
題目描述
設 r 是個 2^k進位制數，並滿足以下條件：
- r 至少是個 2 位的 2^k進位制數。
- 作為 2^k進位制數，除最後一位外，r的每一位嚴格小於它右邊相鄰的那一位。
- 將 r轉換為二進位制數 q後，則 q的總位數不超過 w。
在這裡，正整數 k,w 是事先給定的。
問：滿足上述條件的不同的 r共有多少個？
我們再從另一角度作些解釋：設 S是長度為 w 的 0101 字串（即字串 S 由 w 個 0 或 1 組成），S對應於上述條件三中的 q。將 S從右起劃分為若干個長度為 k的段，每段對應一位 2^k 進位制的數，如果 S至少可分成 2段，則 S所對應的二進位制數又可以轉換為上述的 2^k進位制數 r。
例：設 k=3,w=7 k =3。則 r 是個八進位制數（ 2^3=8 ）。由於 w=7，長度為 7 的 01 字串按 33位一段分，可分為 3 段（即 1,3,3，左邊第一段只有一個二進位制位），則滿足條件的八進位制數有：
2 位數：
高位為 1：6 個（即 12,13,14,15,16,17 ）,
高位為 2：5 個，
…，
高位為 6：1個（即 67 ）。
共 6+5+…+1=21 個。
3位數：
高位只能是 1，
第 2位為 2：5 個（即 123,124,125,126,127），
第 2 位為 3：4 個，
…，
第 2位為 6：1個（即 167）。
共 5+4+…+1=15 個。
所以，滿足要求的 r共有 36 個。
輸入格式
一行兩個正整數 k,w 用一個空格隔開：
輸出格式
一行一個個正整數，為所求的計算結果。
即滿足條件的不同的 r的個數（用十進位制數表示），要求不得有前導零，各數字之間不得插入數字以外的其他字元（例如空格、換行符、逗號等）。
（提示：作為結果的正整數可能很大，但不會超過 200 位）
解析
首先我們來理解題意，r為k進位制數，轉化為二進位制後，01串最多位不能超過w。由於k位01串可以組成一個k進位制數，我們不妨將最多位可能的情況下的w按k位一組進行切分，得到L = ceil(w/k)組，那麼r在k進位制情況下最多有L位，最少有2位。
例如輸入3，7時，r位8進位制數，r的每位由3個二進位制位構成，r最多情況下可能由7個二進位制位構成。我們將7按3位一組進行切分，得到[1,3,3]。
r在k進位制下最少只有兩位，最多L位，則r的所有情況為 2位r下的情況到L位r下的情況總數之和。
以 3 7為例，則r可能有2位或3位，當r兩位的時候，可能情況有 12，13，14，..17,23,24..27,67，即在1..7的數字中選擇2個，構成二位的r。當r三位時，即首先選擇出第一位，並在剩下的位中選擇出2個比第一位大的數。
由此，可以看出這個問題實際上是組合數問題。
當前n個分段，每個分段均為k位時，則每段可選擇的數字為2^k-1，而r的可能情況為(2^k-1)中取i位(i從2到n)
最後一個分段有可能不到k位，則首先從1開始選擇，做出第一次選擇後，計算出剩下n-1個分段的組合數，並依次求和，得到最終結果。
接下來問題就轉換到如何計算組合數了。
計算組合數可以參考這篇博文 參考連結
此處使用楊輝三角遞推求解組合數值。
最後本題中會出現大整數，超出 long long int範圍，因此對於C++/C實現來說需要手寫大整數
在此首先給出Java版本程式碼
import java.math.BigInteger;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
public class Main {
private static final int n = 1000;
static BigInteger [][]comb = new BigInteger[1000][1000];
static void init()
{
for(int i=0;i<n ;i++)
{
comb[i][0] = BigInteger.valueOf(1);
comb[i][i] = BigInteger.valueOf(1);
for(int j=1;j<i;j++)
{
comb[i][j] = comb[i-1][j].add(comb[i-1][j-1]);
}
}
}
static BigInteger C(int n, int m)
{
if(n<m) return BigInteger.valueOf(0);
return comb[n][m];
}
public static void main(String[] args) {
BigInteger cnt =BigInteger.valueOf(0);
init();
int k,w;
Scanner in = new Scanner(System.in);
k = in.nextInt();
w = in.nextInt();
int fullPart = w / k;
int divPart = (int) Math.ceil(1.0*w / k);
int resPart = 0;
if (w % k != 0)
{
resPart = (int) (w - k * fullPart);
}
int sel = (int) (Math.pow(2, k) - 1);
for (int i = 2; i <= divPart; i++)
{
if (i != divPart)
{
cnt = cnt.add(C(sel,i));
}
else
{
if (resPart != 0)
{
int t = (int) (Math.pow(2, resPart) - 1);
for (int j = 1; j <= t; j++)
{
cnt = cnt.add(C(sel-j,i-1));
}
}
else
{
cnt = cnt.add(C(sel,i));
}
}
}
System.out.println(cnt);
}
}
C語言程式碼 此處大整數程式碼來自於其他博文，一時找不到出處
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define ll long long int
#define maxChar 130
#define maxlen 260
typedef struct HP
{int len;
char s[maxChar];
}HP;
void PrintHP(HP x) {for(int i=x.len;i>=1;i--) printf("%d",x.s[i]);}
void Str2HP(const char *s,HP *x)
{
x->len=strlen(s);
for(int i=1;i<=x->len;i++) x->s[i]=s[x->len-i]-'0'; //倒著記錄
}
void Plus(const HP a,const HP b,HP*c)
{
int i;c->s[1]=0;
for(i=1;i<=a.len||i<=b.len||c->s[i];i++){
if(i<=a.len) c->s[i]+=a.s[i];
if(i<=b.len) c->s[i]+=b.s[i];
c->s[i+1]=c->s[i]/10;c->s[i]%=10;
}
c->len=i-1;if(c->len==0) c->len=1;
}
HP comb[maxlen][maxlen];
void init()
{
for(int i=0;i<maxlen ;i++)
{
Str2HP("1",&comb[i][0]);
Str2HP("1",&comb[i][i]);
for(int j=1;j<i;j++)
{
Plus(comb[i-1][j],comb[i-1][j-1],&comb[i][j]);
}
}
}
HP C(ll n, ll m)
{
HP t;
Str2HP("0",&t);
if(n<m) return t;
return comb[n][m];
}
int main()
{
HP ans;
HP temp;
ll cnt = 0;
Str2HP("0",&ans);
ll k, w;
init();
scanf("%lld %lld", &k, &w);
ll fullPart = w / k;
ll divPart = ceil(1.0*w / k);
int resPart = 0;
if (w % k != 0)
resPart = w - k * fullPart;
int sel = pow(2, k) - 1;
for (int i = 2; i <= divPart; i++)
{
if (i != divPart)
{
HP t= C(sel,i);
HP a = ans;
Plus(a,t,&ans);
}
else
{
if (resPart != 0)
{
int t = pow(2, resPart) - 1;
for (int j = 1; j <= t; j++)
{
HP x = C(sel - j, (i - 1));
HP a = ans;
Plus(a,x,&ans);
}
}
else
{
HP x = C(sel, i);
HP a = ans;
Plus(a,x,&ans);
}
}
}
PrintHP(ans);
}