「題解」P6287 【[COCI2016-2017#1] Mag】
題意簡述
定義一條鏈的價值為鏈上點權乘積除以節鏈上點數,求一條價值最小的鏈。
題解
結論:答案鏈上最多包含一個 \(2\)(其餘全為 \(1\)),並且不在鏈的兩端點。
證明:我們問題分成兩個 \(\texttt{pass}\)。
- \(\texttt{pass 1}\):\(\forall u,s.t.x_{u}\ge2\)。
答案顯然為 \(\min\{x_{u}\},u\in V\)。
-
\(\texttt{pass 2}\):\(\exists E'\subset E,s.t.x_{u}=1,u\in E'\wedge x_{v}\ge2,v\in E\setminus E'\)。
-
- 我們設我們選出的鏈為大概這樣的造型:
即一堆 \(1\) 中夾了一個 \(X\)。
我們設 \(X\) 左邊有 \(l\) 個節點,右邊有 \(r\) 個節點。
則價值為整條鏈 \(\frac{X}{l+r+1}\),左邊 \(\frac{1}{l}\),右邊 \(\frac{1}{r}\)。
為方便我們這裡設 \(l<r\)。
那麼左邊的價值一定大於右邊。
這裡假設 \(\frac{1}{r}>\frac{X}{l+r+1}\)
所以有 \(X\le2\)。
又 \(X\neq1\),所以 \(X=2\)。
-
- 我們設我們選出的鏈為大概這樣的造型:
即一堆 \(1\) 中夾了一個 \(X\) 一個 \(Y\)
這裡我們可以把 \(Y\) 以前當成 \(\texttt{pass 2}\) 的第一個型別,設其共有 \(N\) 個數。
那麼假設我們加入 \(Y\) 更優,即有 \(\frac{XY}{N+1}<\frac{X}{N}\),則有 \(NY<N+1\),由於 \(Y\neq1\),所以加入 \(Y\) 是更劣的。
後面的同理就可以推廣了。
於是得證 QwQ。
然後我們就可以 DP 了。
設 \(f_{u,0/1}\) 表示節點 \(u\) 權值為的情況下最優答案。
轉移就分類討論一下:
- \(x_{u}=1\)
- \(x_{u}=2\)
答案也需要分類討論(這裡設 \(x,y\in\text{son}(u)\)):
- \(x_{u}=1\)
答案為 \(\frac{1}{\max\{f_{x,0}+f_{y,0}+1\}}\),以及 \(\frac{2}{\max\{f_{x,0}+f_{y,1}\}+1}\)。
- \(x_{u}=2\)
答案為 \(\frac{2}{\max\{f_{x,0}+f_{y,0}+1\}}\)。
用四個變數維護最大、次大的 \(f_{0},f_{1}\) 即可。
#include <cstdio>
const int MAXN = 1e6 + 5;
int rint () {
int x = 0, f = 1; char c = getchar ();
for ( ; c < '0' || c > '9'; c = getchar () ) f = c == '-' ? -f : f;
for ( ; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar () ) x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( c & 15 );
return x * f;
}
template<typename _T>
void wint ( _T x ) {
if ( x < 0 ) putchar ( '-' ), x = ~ x + 1;
if ( x > 9 ) wint ( x / 10 );
putchar ( x % 10 ^ '0' );
}
template<typename _T> _T MIN ( const _T x, const _T y ) { return x > y ? y : x; }
struct starS {
int to, nx;
starS ( int T = 0, int N = 0 ) { to = T, nx = N; }
} as[MAXN * 2];
int n, cnt, Up = 1e9, Dn = 1, mnMg = 1e9, a[MAXN], f[MAXN][2], bgin[MAXN];
void pushEdge ( const int u, const int v ) { as[++ cnt] = starS ( v, bgin[u] ); bgin[u] = cnt; }
void checkUpt ( const int x, const int y ) { if ( Up * y > Dn * x ) Up = x, Dn = y; }
void dfs ( const int u, const int lst ) {
int mx0 = 0, se0 = 0, mx1 = 0, se1 = 0;
for ( int i = bgin[u]; i; i = as[i].nx ) {
int v = as[i].to;
if ( v == lst ) continue;
dfs ( v, u );
if ( f[v][0] > f[mx0][0] ) se0 = mx0, mx0 = v;
else if ( f[v][0] > f[se0][0] ) se0 = v;
if ( f[v][1] > f[mx1][1] ) se1 = mx1, mx1 = v;
else if ( f[v][1] > f[se1][1] ) se1 = v;
}
if ( a[u] == 1 ) {
f[u][0] = f[mx0][0] + 1;
checkUpt ( 1, f[mx0][0] + f[se0][0] + 1 );
if ( ! mx1 ) return;
f[u][1] = f[mx1][1] + 1;
if ( mx0 != mx1 ) checkUpt ( 2, f[mx0][0] + f[mx1][1] + 1 );
else {
checkUpt ( 2, f[se0][0] + f[mx1][1] + 1 );
if ( se1 ) checkUpt ( 2, f[mx0][0] + f[se1][1] + 1 );
}
}
else if ( a[u] == 2 ) f[u][1] = f[mx0][0] + 1, checkUpt ( 2, f[mx0][0] + f[se0][0] + 1 );
}
int main () {
n = rint ();
for ( int i = 1, u, v; i < n; ++ i ) {
u = rint (), v = rint ();
pushEdge ( u, v ), pushEdge ( v, u );
}
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) a[i] = rint (), mnMg = MIN ( mnMg, a[i] );
if ( mnMg > 1 ) wint ( mnMg ), putchar ( '/' ), wint ( 1 ), putchar ( '\n' );
else dfs ( 1, 0 ), wint ( Up ), putchar ( '/' ), wint ( Dn ), putchar ( '\n' );
return 0;
}