「題解」 P4689 【[Ynoi2016]這是我自己的發明】
阿新 • • 發佈：2020-12-17
Description
給一個樹，\(n\) 個點，有點權，初始根是 1。
\(m\) 個操作，種類如下：
1 x 將樹根換為 \(x\)。
2 x y 給出兩個點 \(x,y\)，從 \(x\) 的子樹中選每一個點，\(y\) 的子樹中選每一個點，求點權相等的情況數。
Editorial
我首先認為這是 SNOI2017 一個簡單的詢問 搬到樹上。
我們傳統地把此題分為兩個 \(\texttt{pass}\)，一個詢問，一個修改。
- \(\texttt{pass 1}\)：詢問
我直接按 一個簡單的詢問 的方法講。其實是把以前的題解 copy 過來了。
由於是出現次數，滿足區間加減性，所以我們可以這樣表達 \(\mathrm{get}(l,r,x)\)
那麼我們代進原式，化一波式子（\(\mathrm{get}(p)=\mathrm{get}(1,p,x)\)）：
\[\sum_{i=1}^{\infty}\mathrm{get}(l_{1},r_{1},x)\times\mathrm{get}(l_{2},r_{2},x) \]\[\sum_{i=1}^{\infty}(\mathrm{get}(1,r_{1})-\mathrm{get}(1,l_{1}-1))\times(\mathrm{get}(1,r_{2})-\mathrm{get}(1,l_{2}-1)) \]則答案為:
\[F(r_{1},r_{2})-F(r_{1},l_{2}-1)-F(l_{1}-1,r_{2})+F(l_{1}-1,l_{2}-1) \]考慮怎麼更新，比如從 \(l\) 更新到 \(l+1\)，則：
\[\mathrm{get(1,l)}\times\mathrm{get}(1,r) \]\[\mathrm{get(1,l+1)}\times\mathrm{get}(1,r) \]\[\mathrm{get(1,l)}\times\mathrm{get}(1,r)+\mathrm{cont}(a_{l}) \]其中 \(\mathrm{cont}(a_{l})\) 表示 \(a_{l}\) 的出現次數。
則我們就知道怎麼更新了，由於我們維護和的是字首資訊，所以姿勢和普通莫隊有點不一樣。
維護兩個陣列 cntl[x] 和 cntr[y] 表示答案式子
子樹的話直接 DFS 序拍到序列上。
- \(\texttt{pass 2}\)：修改
現在我們面臨著查詢操作我們是用莫隊整的，但這個修改貌似不單純。其實也是從樹剖模板縫合過來的。
分類討論，設我們當前要換的根為 \(rt\)，現在來處理詢問，設查詢的節點為 \(u\)，\(\text{LCA}(u,v)\) 為節點 \(u\) 和節點 \(v\) 的最近公共祖先。
-
- 如果 \(rt=u\)，則我們直接對整棵樹進行查詢。
-
- 如果 \(\text{LCA}(u,rt)\neq u\)，此時修改不影響查詢。
-
- 如果 \(\text{LCA}(u,rt)=u\)，此時 \(rt\) 在 \(u\) 的子樹裡，那麼需要查詢的地方就很明確了，後面的步驟顯然。
於是我們不需要實際的去處理這個修改，然後就可以直接莫隊了。
（整體感覺是個 原題+假上樹+樹剖模板 的縫合題）
/* Clearink */
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 5e5 + 5, MAXM = 1e6 + 5;
int rint () {
int x = 0, f = 1; char c = getchar ();
for ( ; c < '0' || c > '9'; c = getchar () ) f = c == '-' ? -1 : f;
for ( ; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar () ) x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( c & 15 );
return x * f;
}
template<class _T>
void wint ( _T x ) {
if ( x < 0 ) putchar ( '-' ), x = ~ x + 1;
if ( x > 9 ) wint ( x / 10 );
putchar ( x % 10 ^ '0' );
}
template<class _T> void swapp ( _T& x, _T& y ) { _T w = x; x = y; y = w; }
struct GraphSet {
int to, nx;
GraphSet () : to ( 0 ), nx ( 0 ) {}
GraphSet ( const int a, const int b ) : to ( a ), nx ( b ) {}
} asg[MAXN * 2];
struct Quest {
int l, r, ID, x;
Quest () : l ( 0 ), r ( 0 ), ID ( 0 ), x ( 0 ) {}
Quest ( const int a, const int b, const int c, const int d ) : l ( a ), r ( b ), ID ( c ), x ( d ) {}
} asq[MAXM * 8], itls[MAXN];
LL cur = 0, ans[MAXM], buc1[MAXN], buc2[MAXN];
int rt, pos[MAXN], blo = 320, col[MAXN], freq;
int n, m, bgn[MAXN], cnt, sjc, segl[MAXN], segr[MAXN], kfa[MAXN][21], a[MAXN], dept[MAXN], pri[MAXN], len;
void addE ( const int u, const int v ) { asg[++ cnt] = GraphSet ( v, bgn[u] ), bgn[u] = cnt; }
bool existcmp ( const Quest& one, const Quest& ano ) { return pos[one.l] == pos[ano.l] ? one.r < ano.r : one.l < ano.l; }
void dfs ( const int u, const int lst ) {
kfa[u][0] = lst, dept[u] = dept[lst] + 1;
segl[u] = ++ sjc, col[sjc] = a[u];
for ( int i = 1; i <= 20; ++ i ) kfa[u][i] = kfa[kfa[u][i - 1]][i - 1];
for ( int i = bgn[u]; i; i = asg[i].nx ) {
int v = asg[i].to;
if ( v == lst ) continue;
dfs ( v, u );
}
segr[u] = sjc;
}
int calcKAC ( int u, int k ) {
for ( int i = 20; ~ i; -- i ) {
if ( k >= ( 1 << i ) ) k -= ( 1 << i ), u = kfa[u][i];
}
return u;
}
int calcLCA ( int u, int v ) {
if ( dept[u] < dept[v] ) swapp ( u, v );
for ( int i = 20; ~ i; -- i ) {
if ( dept[kfa[u][i]] >= dept[v] ) u = kfa[u][i];
}
if ( u == v ) return u;
for ( int i = 20; ~ i; -- i ) {
if ( kfa[u][i] != kfa[v][i] ) u = kfa[u][i], v = kfa[v][i];
}
return kfa[u][0];
}
void initial () {
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) pos[i] = ( i - 1 ) / blo + 1;
sort ( pri + 1, pri + 1 + n );
len = unique ( pri + 1, pri + 1 + n ) - pri - 1;
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) a[i] = lower_bound ( pri + 1, pri + 1 + len, a[i] ) - pri;
dfs ( 1, 0 );
}
void splitASdrug ( const int u, int& ils ) {
if ( u == rt ) itls[++ ils] = Quest ( 1, n, 0, 0 );
else {
int lca = calcLCA ( u, rt );
if ( lca != u ) itls[++ ils] = Quest ( segl[u], segr[u], 0, 0 );
else {
int ar = calcKAC ( rt, dept[rt] - dept[u] - 1 );
if ( 1 <= segl[ar] - 1 ) itls[++ ils] = Quest ( 1, segl[ar] - 1, 0, 0 );
if ( segr[ar] + 1 <= n ) itls[++ ils] = Quest ( segr[ar] + 1, n, 0, 0 );
}
}
}
void transASsub ( const int l1, const int r1, const int l2, const int r2, const int ID ) {
asq[++ m] = Quest ( r1, r2, ID, 1 ), asq[++ m] = Quest ( r1, l2 - 1, ID, -1 );
asq[++ m] = Quest ( l1 - 1, r2, ID, -1 ), asq[++ m] = Quest ( l1 - 1, l2 - 1, ID, 1 );
}
void transASmany ( const int l, const int r ) {
++ freq;
int ils = 0; splitASdrug ( l, ils );
int aim = ils; splitASdrug ( r, ils );
for ( int i = 1; i <= aim; ++ i ) {
for ( int j = aim + 1; j <= ils; ++ j ) transASsub ( itls[i].l, itls[i].r, itls[j].l, itls[j].r, freq );
}
}
void add1 ( const int x ) { cur += buc2[col[x]], buc1[col[x]] ++; }
void add2 ( const int x ) { cur += buc1[col[x]], buc2[col[x]] ++; }
void sub1 ( const int x ) { cur -= buc2[col[x]], buc1[col[x]] --; }
void sub2 ( const int x ) { cur -= buc1[col[x]], buc2[col[x]] --; }
void captainMO () {
int nowl = 0, nowr = 0;
for ( int i = 1; i <= m; ++ i ) {
for ( ; nowl < asq[i].l; add1 ( ++ nowl ) ) ;
for ( ; nowr < asq[i].r; add2 ( ++ nowr ) ) ;
for ( ; nowl > asq[i].l; sub1 ( nowl -- ) ) ;
for ( ; nowr > asq[i].r; sub2 ( nowr -- ) ) ;
ans[asq[i].ID] += cur * asq[i].x;
}
}
int main () {
n = rint (); int _waste_ = rint ();
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) a[i] = pri[i] = rint ();
for ( int i = 1; i < n; ++ i ) {
int u = rint (), v = rint ();
addE ( u, v ), addE ( v, u );
}
initial (), rt = 1;
for ( int i = 1; i <= _waste_; ++ i ) {
int c = rint (), x, y;
if ( c == 1 ) rt = rint ();
else x = rint (), y = rint (), transASmany ( x, y );
}
sort ( asq + 1, asq + 1 + m, existcmp ), captainMO ();
for ( int i = 1; i <= freq; ++ i ) wint ( ans[i] ), putchar ( '\n' );
return 0;
}