4.3 買票找零問題

基礎問題：在一場激烈的足球賽開始前，售票工作正在緊張的進行中。每一張球票為50元。現在有2n個人排隊購票，其中有n個人手持50元的鈔票，另外n個人手持100元的鈔票，假設開始售票時，售票處沒有零錢.問這2n個人有多少種排隊方式，不至於售票處出現找不開錢的局面？

answer

Catalan 數

先介紹卡特蘭數：

• Catalan 滿足遞迴式：\(h(n) = h(0) * h(n-1) + h(1) * h(n-2) + ...+h(n-1) * h(0)\)
• Catalan 另類遞推式：\(h(n) = \frac{h(n-1) * (4*n-2)}{n+1}\)
• 遞推關係的解為：\(C_n = C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n\)

卡特蘭數的證明：

給出一個n，要求一個長度為2n的0，1序列，使得序列的任意字首中1的個數不少於0的個數

證明：

考慮一個含有n個1，n個0的2n位二進位制數字，掃描到第2m+1位上的時候有m+1個0和m個1，則後面0，1 的個數分別為：有n-m個1和n-m-1個0，
將2m+2以及之後的0變成1，1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進位制數，不符合要求
從而\(C_n = C_n = C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n\)

拓展問題：

1 矩陣連乘問題：\(P = a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n\)依據乘法結合律，不改變矩陣的相互順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？

左括號相當於1，右括號相當於0，本質上就是卡特蘭數

2 將多邊形劃分稱為三角形問題。求一個凸多邊形區域劃分稱為三角形區域的方法數。

我們從節點1開始考慮，要想分割成為三角形區域，節點1不能和他相鄰的節點相連，所以節點1可以連線3，4...n-1
我們假設節點1連線i，則這條線將多邊形區域分割成為i凸多邊形和N+2-i凸多邊形，即對於節點1，\(f_1(n) = f(3)*f(n+2-3) + ... + f(n-1)f(3)\)

3 某一個城市的某個居民，每一天他需要走2n個街區去上班（他在其住所北n個街區和以東n個街區工作）。如果他從不穿越從家到公司的對角線，那麼有多少條可能的道路？

符合卡特蘭數

4 在圓上選擇2n個點，將這些點成對連線起來，求使所得到的n條線段不相交的方法數？

類似於拓展2

5 n個節點可以構造出多少不同的二叉樹？

n = 0 , f(0) = 1
n = 1 , f(1) = 1
n = 2 , f(2) = 4

其中\(f(i)*f(n-i-1)表示左子樹有i個節點右子樹有n-i-1個節點時候可構造的數目\)
符合卡特蘭數

// 4.3 買票找零
// 卡特蘭數
class Test{
	public static void main(String[] args) {
		/**
		基礎問題：
			在一場激烈的足球賽開始前，售票工作正在緊張的進行中。每一張球票為50元。現在有2n個人排隊購票，其中有n個人手持50元的鈔票，另外n個人手持100元的鈔票，假設開始售票時，售票處沒有零錢。
			問這2n個人有多少種排隊方式，不至於售票處出現找不開錢的局面？
		answer
			$$res = C_{2n}^n - C_{2n}^{n-1} = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$$

		*/
		/**
		先介紹卡特蘭數：
			Catalan 滿足遞迴式：$h(n) = h(0) * h(n-1) + h(1) * h(n-2) + ...+h(n-1) * h(0)$
			Catalan 另類遞推式：$h(n) = \frac{h(n-1) * (4*n-2)}{n+1}$
			遞推關係的解為：$C_n = C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$
		卡特蘭數的證明：
			給出一個n，要求一個長度為2n的0，1序列，使得序列的任意字首中1的個數不少於0的個數
			證明：
				考慮一個含有n個1，n個0的2n位二進位制數字，掃描到第2m+1位上的時候有m+1個0和m個1，則後面0，1 的個數分別為：有n-m個1和n-m-1個0，
				將2m+2以及之後的0變成1，1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進位制數，不符合要求
				從而$C_n = C_n = C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$
		*/
		/**
		拓展問題：
			1 矩陣連乘問題：$P = a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n$依據乘法結合律，不改變矩陣的相互順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
				左括號相當於1，右括號相當於0，本質上就是卡特蘭數
			2 將多邊形劃分稱為三角形問題。求一個凸多邊形區域劃分稱為三角形區域的方法數。
				我們從節點1開始考慮，要想分割成為三角形區域，節點1不能和他相鄰的節點相連，所以節點1可以連線3，4...n-1
				我們假設節點1連線i，則這條線將多邊形區域分割成為i凸多邊形和N+2-i凸多邊形，即對於節點1，$f_1(n) = f(3)*f(n+2-3) + ... + f(n-1)f(3)$
				總的分割方法是$N*f_1(n)$,其中一半是重複情況
				$$f(n) = \sum_{i=3}^{n-1}f(i)*f(n+2-i)*\frac{n}{2}$$
			3 某一個城市的某個居民，每一天他需要走2n個街區去上班（他在其住所北n個街區和以東n個街區工作）。如果他從不穿越從家到公司的對角線，那麼有多少條可能的道路？
				符合卡特蘭數
			4 在圓上選擇2n個點，將這些點成對連線起來，求使所得到的n條線段不相交的方法數？
				類似於拓展2
			5 n個節點可以構造出多少不同的二叉樹？	
				n = 0 , f(0) = 1
				n = 1 , f(1) = 1
				n = 2 , f(2) = 4
				$$f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(i)*f(n-i-1) + ... + f(n-1) * f(0)$$
				其中$f(i)*f(n-i-1)表示左子樹有i個節點右子樹有n-i-1個節點時候可構造的數目$
			符合卡特蘭數
		*/
		
	}
}