題目描述

  給定 \(A,B,C\)，求滿足方程 \(Ax+By\leq C\) 的 非負 整數解 \((x,y)\)（\(A,B\leq 10^9,C\leq \min(A,B)\times 10^9\)）。

分析

  考慮列舉 \(y\)，移項得：\(0\leq y\leq \lfloor\frac{C-Ax}{B}\rfloor\)，當 $ x=0$ 時，\(y\) 列舉的上界為 \(\lfloor\frac{C}{A}\rfloor\)。

  這相當於求線段 \(y=\frac{C-Ax}{B}(0\leq y\leq \lfloor\frac{C}{A}\rfloor)\) 在第一象限和 \(x,y\)

  把斜率為負調整成斜率為正的線段，原來線段的兩端點為 \((0,\frac{C}{B}),(\lfloor\frac{C}{A}\rfloor,\frac{C-A\lfloor\frac{C}{A}\rfloor}{B})\)，將兩端點對換，分別為 \((0,\frac{C-A\lfloor\frac{C}{A}\rfloor}{B}),(\lfloor\frac{C}{A}\rfloor,\frac{C}{B})\)，此時線段為 \(y=\frac{A}{B}x+\frac{C-A\lfloor\frac{C}{A}\rfloor}{B}=\frac{Ax+C\% A}{B}\)

  問題即求（加 \(1\) 是因為 \(x=0\) 時也是合法解）：

  考慮一個一般性問題：

  \(1.\)

  \(2.\) 當 \(a<c\) 且 \(b<c\) 時，

  可以發現右邊遞迴成為子問題，繼續一輪操作即可。邊界條件：\(a=0\)。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long A,B,C;
long long solve(long long a,long long b,long long c,long long n)
{
    if(a==0)
        return (n+1)*(b/c);
    if(a>=c||b>=c)
        return solve(a%c,b%c,c,n)+(a/c)*n*(n+1)/2+(b/c)*(n+1);
    long long m=(a*n+b)/c;
    return n*m-solve(c,c-b-1,a,m-1);
}
int main()
{
    cin>>A>>B>>C;
    cout<<solve(A,C%A+B,B,C/A)<<endl;
    return 0;
}