平衡二叉樹圖解以及程式碼實現
平衡二叉樹
平衡二叉搜尋樹（Self-balancing binary search tree）又被稱為AVL樹（有別於AVL演算法），且具有以下性質：
- 它是一 棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過
1; - 左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。
是為了解決二叉查詢樹查詢節點在最壞的情況下，該二叉樹有可能退化成一個連結串列。
AVL樹除了滿足二叉查詢樹的性質之外，AVL樹的特性如下：
AVL樹的左右子樹的高度差別小於等於1。AVL樹的左右子樹也是AVL樹。
平衡因子：
定義：某結點的左子樹與右子樹的高度(深度)差即為該結點的平衡因子（BF,Balance Factor）。
平衡二叉樹上所有結點的平衡因子只可能是-1，0或 1。如果某一結點的平衡因子絕對值大於1則說明此樹不是平衡二叉樹。為了方便計算每一結點的平衡因子我們可以為每個節點賦予height這一屬性，表示此節點的高度。
二叉樹失衡的情況有LL、RR、LR和RL四種，調整二叉樹為平衡二叉樹的方法有2種：右旋、左旋。
1、解決失衡
LL(右旋)：
/**
* 右旋轉
*/
private Node rightRotate(Node y){
Node x = y.left;
Node t3 = x.right;
x.right = y;
y.left = t3;
//更新height
y.height = RR左旋：
/**
* 左旋轉
*/
private Node leftRotate(Node y){
Node x = y.right;
Node t2 = x.left;
x.left = y;
y.right = t2;
//更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight LR先左旋後右旋：
RL先右旋後左旋：
同理LR的先左旋後右旋。
1、新增節點
// 向二分搜尋樹中新增新的元素(key, value)
public void add(E e){
root = add(root, e);
}
// 向以node為根的二分搜尋樹中插入元素(key, value)，遞迴演算法
// 返回插入新節點後二分搜尋樹的根
private Node add(Node node, E e){
if(node == null){
size ++;
return new Node(e);
}
if(e.compareTo(node.e) < 0)
node.left = add(node.left, e);
else if(e.compareTo(node.e) > 0)
node.right = add(node.right, e);
//更新height
node.height = 1+Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));
//計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left)>0) {
//右旋LL
return rightRotate(node);
}
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right)<0) {
//左旋RR
return leftRotate(node);
}
//LR
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0){
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
//RL
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0){
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
return node;
}
2、刪除節點
分為以下3種情況：
（1）當刪除的節點是葉子節點，則將節點刪除，然後從父節點開始，判斷是否失衡，如果沒有失衡，則再判斷父節點的父節點是否失衡，直到根節點，此時到根節點還發現沒有失衡，則說此時樹是平衡的；如果中間過程發現失衡，則判斷屬於哪種型別的失衡（左左，左右，右左，右右），然後進行調整。
（2）刪除的節點只有左子樹或只有右子樹，這種情況其實就比刪除葉子節點的步驟多一步，就是將節點刪除，然後把僅有一支的左子樹或右子樹替代原有結點的位置，後面的步驟就一樣了，從父節點開始，判斷是否失衡，如果沒有失衡，則再判斷父節點的父節點是否失衡，直到根節點，如果中間過程發現失衡，則根據失衡的型別進行調整。
（3）刪除的節點既有左子樹又有右子樹，這種情況又比上面這種多一步，就是中序遍歷，找到待刪除節點的前驅或者後驅都行，然後與待刪除節點互換位置，然後把待刪除的節點刪掉，後面的步驟也是一樣，判斷是否失衡，然後根據失衡型別進行調整。
public E remove(E e){
Node node = getNode(root, e);
if(node != null){
root = remove(root, e);
return node.e;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, E e){
if( node == null )
return null;
Node retNode;
if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
node.left = remove(node.left , e);
retNode = node;
}
else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
node.right = remove(node.right, e);
retNode = node;
}
else{ // e.compareTo(node.e) == 0
// 待刪除節點左子樹為空的情況
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
retNode = rightNode;
}
// 待刪除節點右子樹為空的情況
else if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
retNode = leftNode;
}else {
// 待刪除節點左右子樹均不為空的情況
// 找到比待刪除節點大的最小節點, 即待刪除節點右子樹的最小節點
// 用這個節點頂替待刪除節點的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.e);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
if(retNode==null)
return null;
//維護平衡
//更新height
retNode.height = 1+Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right));
//計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left)>=0) {
//右旋LL
return rightRotate(retNode);
}
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right)<=0) {
//左旋RR
return leftRotate(retNode);
}
//LR
if(balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0){
node.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
//RL
if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0){
node.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
最後總結一下，平衡二叉樹是一棵高度平衡的二叉樹，所以查詢的時間複雜度是 O(logN) 。插入的話上面也說，失衡的情況有4種，左左，左右，右左，右右，即一旦插入新節點導致失衡需要調整，最多也只要旋轉2次，所以，插入複雜度是 O(1) ，但是平衡二叉樹也不是完美的，也有缺點，從上面刪除處理思路中也可以看到，就是刪除節點時有可能因為失衡，導致需要從刪除節點的父節點開始，不斷的回溯到根節點，如果這棵平衡二叉樹很高的話，那中間就要判斷很多個節點。所以後來也出現了綜合性能比其更好的樹—-紅黑樹。