Solution -「CF 1342E」Placing Rooks
阿新 • • 發佈:2020-12-07
\(\mathcal{Description}\)
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在一個 \(n\times n\) 的國際象棋棋盤上擺 \(n\) 個車,求滿足:
- 所有格子都可以被攻擊到。
- 恰好存在 \(k\) 對車可以互相攻擊。
的擺放方案數,對 \(998244353\) 取模。
\(n\le2\times10^5\)。
\(\mathcal{Solution}\)
這道《藍題》嗷,看來兔是個傻子。
從第一個條件入手,所有格子可被攻擊,那就有「每行都有車」或「每列都有車」成立。不妨設每行有車,則第二個條件中的“互相攻擊”僅能由同列的車滿足,可以得出有車的列數為 \(n-k\)。
\(n\)
若 \(k\not=0\),明顯沿對角線對稱擺放所有棋子得到新方案,故答案 \(\times2\)。
複雜度 \(\mathcal O(n)\)。
\(\mathcal{Code}\)
/* Clearink */ #include <cstdio> const int MAXN = 2e5, MOD = 998244353; int n, m, fac[MAXN + 5], ifac[MAXN + 5]; inline int mul ( const long long a, const int b ) { return a * b % MOD; } inline int sub ( int a, const int b ) { return ( a -= b ) < 0 ? a + MOD : a; } inline int add ( int a, const int b ) { return ( a += b ) < MOD ? a : a - MOD; } inline int sqr ( const int a ) { return mul ( a, a ); } inline int qkpow ( int a, int b ) { int ret = 1; for ( ; b; a = mul ( a, a ), b >>= 1 ) ret = mul ( ret, b & 1 ? a : 1 ); return ret; } inline void init () { fac[0] = 1; for ( int i = 1; i <= n; ++i ) fac[i] = mul ( i, fac[i - 1] ); ifac[n] = qkpow ( fac[n], MOD - 2 ); for ( int i = n - 1; ~i; --i ) ifac[i] = mul ( i + 1, ifac[i + 1] ); } inline int comb ( const int n, const int m ) { return n < m ? 0 : mul ( fac[n], mul ( ifac[m], ifac[n - m] ) ); } inline int stir ( const int n, const int m ) { int ret = 0; for ( int i = 0; i <= m; ++i ) { ret = ( i & 1 ? sub : add )( ret, mul ( comb ( m, i ), qkpow ( m - i, n ) ) ); } return mul ( ret, ifac[m] ); } int main () { scanf ( "%d %d", &n, &m ); if ( m > n - 1 ) return puts ( "0" ), 0; init (); int ans = mul ( mul ( fac[n], ifac[m] ), stir ( n, n - m ) ); if ( m ) ans = add ( ans, ans ); printf ( "%d\n", ans ); return 0; }