\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  \(n\) 個公司，每個公司可能獨立或者附屬於另一個公司。初始時，每個公司附屬於 \(a_i\)（\(a_i=-1\) 表示該公司獨立）。不存在兩級及以上的附屬關係。每次事件隨機選取兩個獨立的公司，使其中一個公司所擁有的附屬公司全部獨立，並且該公司成為另一個公司的附屬。求使僅存在一個獨立公司的期望操作次數。對 \(10^9+7\) 取模。

  \(n\le500\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  奇怪的解題姿勢增加了！

  記一個公司的勢能函式 \(\phi(i)=2^{s_i}-1\)，其中 \(s_i\)

\[\phi(S)=\sum_{i=1}^n\phi(i) \]

  那麼，結束局面 \(T\) 的勢能函式 \(\phi(T)=2^{n-1}-1\)。

  考慮單次事件對勢能的影響。對於局面 \(S\) 中一次作用在兩個獨立公司 \(u,v\) 上的事件，有：

\[\begin{align} E(\Delta\phi)&=E(\phi(S'))-\phi(S)\\ &=\frac{1}2((2^{s_u}-1)+(2^{s_v}-1))-(2^{s_u-1}-1)-(2^{2_v-1}-1)\\ &=-1+2\\ &=1 \end{align} \]

  一次事件在期望意義下會讓局面的勢能 \(+1\)！所以期望事件個數就是勢能的期望變化次數。即：

\[\phi(T)-\phi(S) \]

  其中 \(S\) 是初始局面，\(T\) 即上文結束局面。輸出這個值就好啦！

  複雜度 \(\mathcal O(n)\)。

\(\mathcal{Code}\)

#include <cstdio>

const int MAXN = 500, MOD = 1e9 + 7;
int n, d[MAXN + 5];

inline int qkpow ( int a, int b, const int p = MOD ) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; a = 1ll * a * a % p, b >>= 1 ) ret = 1ll * ret * ( b & 1 ? a : 1 ) % p;
	return ret;
}

int main () {
	scanf ( "%d", &n );
	int ans = ( MOD + qkpow ( 2, n - 1 ) - 1 ) % MOD;
	for ( int i = 1, f; i <= n; ++ i ) {
		scanf ( "%d", &f );
		if ( ~ f ) d[i] = -1, ++ d[f];
	}
	for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
		if ( ~ d[i] ) {
			ans = ( ans - qkpow ( 2, d[i] ) + 1 + MOD ) % MOD;
		}
	}
	printf ( "%d\n", ans );
	return 0;
}