POJ - 2065 SETI(高斯消元解方程(取模))

阿新 • • 發佈：2020-12-08

題目大意：給出一個質數作為 mod，再給出一個字串，每個字母對應著一個數字：

' * ' = 0
' a ' = 1
' b ' = 2
...
' z ' = 26

假設字串長度為 n，題目給出了 n 個線性同餘方程需要求解

$a_0*1^0 + a_1*1^1+a_2*1^2+........+a_{n-1}*1^{n-1} = f(1)(mod\ p) , f(1) = s[0]$
$a_0*2^0 + a_1*2^1+a_2*2^2+........+a_{n-1}*2^{n-1} = f(2)(mod\ p), f(2) = s[1]$
...
$a_0*n^0 + a_1*n^1+a_2*n^2+........+a_{n-1}*n^{n-1} = f(n)(mod\ p),f(n) = str[n-1]$

題目分析：因為未知數和方程組的個數都不是很多，所以直接套上模

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ull;

const LL inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

const int N=110;

int a[N][N];//增廣矩陣
int x[N];//解集
bool free_x[N];//標記是否是不確定的變元
inline int gcd(int a,int b)
{
    int t;
    while(b!=0)
    {
        t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    return a;
}
inline int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;//先除後乘防溢位
}
// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮點數解，但無整數解，
//-1表示無解，0表示唯一解，大於0表示無窮解，並返回自由變元的個數)
//有equ個方程，var個變元。增廣矩陣行數為equ,分別為0到equ-1,列數為var+1,分別為0到var.
int Gauss(int equ,int var,int MOD)
{
    int i,j,k;
    int max_r;// 當前這列絕對值最大的行.
    int col;//當前處理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;

    for(int i=0;i<=var;i++)
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }

    //轉換為階梯陣.
    col=0; // 當前處理的列
    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
    {// 列舉當前處理的行.
// 找到該col列元素絕對值最大的那行與第k行交換.(為了在除法時減小誤差)
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        {// 與第k行交換.
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        {// 說明該col列第k行以下全是0了，則處理當前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {// 列舉要刪去的行.
            if(a[i][col]!=0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//異號的情況是相加
                for(j=col;j<var+1;j++)
                {
                    a[i][j] = ((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%MOD+MOD)%MOD;
                }
            }
        }
    }

    // 1. 無解的情況: 化簡的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 對於無窮解來說，如果要判斷哪些是自由變元，那麼初等行變換中的交換就會影響，則要記錄交換.
        if ( a[i][col]  != 0) return -1;
    }
    // 2. 無窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說明沒有形成嚴格的上三角陣.
    // 且出現的行數即為自由變元的個數.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不會是(0, 0, ..., 0)的情況，因為這樣的行是在第k行到第equ行.
            // 同樣，第i行一定不會是(0, 0, ..., a), a != 0的情況，這樣的無解的.
            free_x_num = 0; // 用於判斷該行中的不確定的變元的個數，如果超過1個，則無法求解，它們仍然為不確定的變元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 無法求解出確定的變元.
            // 說明就只有一個不確定的變元free_index，那麼可以求解出該變元，且該變元是確定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j]%MOD;
                temp=(temp%MOD+MOD)%MOD;
            }
            while(temp%a[i][free_index]!=0)temp+=MOD;
            x[free_index] = (temp / a[i][free_index])%MOD; // 求出該變元.
            free_x[free_index] = 0; // 該變元是確定的.
        }
        return var - k; // 自由變元有var - k個.
    }
    // 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴格的上三角陣.
    // 計算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
            temp=(temp%MOD+MOD)%MOD;
        }
        while (temp % a[i][i] != 0) temp+=MOD;
        x[i] =( temp / a[i][i])%MOD ;
    }
    return 0;
}

int q_pow(int a,int b,int mod)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

char s[N];

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.ans.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--)
	{
		int mod;
		scanf("%d",&mod);
		scanf("%s",s);
		int n=strlen(s);
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			if(s[i]=='*')
				a[i][n]=0;
			else
				a[i][n]=s[i]-'a'+1;
			for(int j=0;j<n;j++)
				a[i][j]=q_pow(i+1,j,mod);
		}
		Gauss(n,n,mod);
		for(int i=0;i<n-1;i++)
			printf("%d ",x[i]);
		printf("%d\n",x[n-1]);
	}










    return 0;
}

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