話不多說，我們上題目:

方法一:動態規劃

我們用 f(i, j)表示從左上角走到 (i, j) 的路徑數量，其中 i 和 j 的範圍分別是 [0, m)和 [0, n)。

由於我們每一步只能從向下或者向右移動一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那麼會從 (i−1,j) 走過來；
如果向右走一步，那麼會從 (i, j-1)走過來。因此我們可以寫出動態規劃轉移方程：

f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

需要注意的是，如果 i=0，那麼 f(i-1,j)並不是一個滿足要求的狀態，我們需要忽略這一項；同理，如果 j=0，那麼
f(i,j-1) 並不是一個滿足要求的狀態，我們需要忽略這一項。

初始條件為 f(0,0)=1，即從左上角走到左上角有一種方法。

最終的答案即為 f(m-1,n-1)。
程式碼實現如下：

public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] tmpResult=new int[m][n];
        for(int i=0;i<n;i++){
            tmpResult[0][i]=1;
        }
        for(int i=0;i<m;i++){
            tmpResult[i][0]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                tmpResult[i][j] = tmpResult[i - 1][j] + tmpResult[i][j - 1];
            }
        }
        return tmpResult[m-1][n-1];
    }

 

方法二: 遞迴
遞迴則是從“Finish”出發，往上走，假設往上的位置是i,往左的位置是j,則有：
1.i>1且j>1 則有兩條路線，繼續往上找就好
2.i>1 或 j>1 則說明到了邊緣，只有一種路線了，返回1就可以
3.i=1且j=1 說明是終點了，無路線了，返回0即可
程式碼實現如下:

public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m==1 && n==1){
            return 1;
        }
        return bianli(m,n);
    }

    public int  bianli(int m, int n){
        if(m>1 && n>1){
            return bianli(m-1,n)+bianli(m,n-1);
        }else if(n>1 || m>1){
            return 1;
        }else {
            return 0;
        }
    }

 

雖然遞迴運算的結果和動態規劃的結果相同，但是遞迴的在執行的時候卻超時了，瞭解了一下，記錄下
原因:
大家都知道遞迴的實現是通過呼叫函式本身，函式呼叫的時候，每次呼叫時要做地址儲存，引數傳遞等，這是通過
一個遞迴工作棧實現的。具體是每次呼叫函式本身要儲存的內容包括：區域性變數、形參、呼叫函式地址、返回值。
那麼，如果遞迴呼叫N次，就要分配N區域性變數、N形參、N呼叫函式地址、N返回值，這勢必是影響效率的，同時，
這也是記憶體溢位的原因，因為積累了大量的中間變數無法釋放。
1.1用迴圈效率會比遞迴效率高嗎？

遞迴與迴圈是兩種不同的解決問題的典型思路。當然也並不是說迴圈效率就一定比遞迴高，遞迴和迴圈是兩碼事，
遞迴帶有棧操作，迴圈則不一定，兩個概念不是一個層次，不同場景做不同的嘗試。

2.1遞迴演算法：

優點：程式碼簡潔、清晰，並且容易驗證正確性。（如果你真的理解了演算法的話，否則你更暈）

缺點：它的執行需要較多次數的函式呼叫，如果呼叫層數比較深，需要增加額外的堆疊處理（還有可能出現堆疊溢
出的情況），比如引數傳遞需要壓棧等操作，會對執行效率有一定影響。但是，對於某些問題，如果不使用遞迴，
那將是極端難看的程式碼。

2.2迴圈演算法：

優點：速度快，結構簡單。

缺點：並不能解決所有的問題。有的問題適合使用遞迴而不是迴圈。如果使用迴圈並不困難的話，最好使用迴圈。

2.3遞迴演算法和迴圈演算法總結：

1） 一般遞迴呼叫可以處理的演算法，也可以通過迴圈去解決，常需要額外的低效處理。

2）現在的編譯器在優化後，對於多次呼叫的函式處理會有非常好的效率優化，效率未必低於迴圈。

3） 遞迴和迴圈兩者完全可以互換。如果用到遞迴的地方可以很方便使用迴圈替換，而不影響程式的閱讀，那麼替
換成迴圈往往是好的。（例如：求階乘的遞迴實現與迴圈實現。）