題目資訊

• 時間： 2019-07-23

• 題目連結：Leetcode

• tag： 動態規劃

• 難易程度：中等

• 題目描述：

  給定一個包含非負整數的 m x n 網格，請找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數字總和為最小。

  說明：每次只能向下或者向右移動一步。

示例1:

輸入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
輸出: 7
解釋: 因為路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。

解題思路

本題難點

路徑的方向只能是向下或向右，因此網格的第一行的每個元素只能從左上角元素開始向右移動到達，網格的第一列的每個元素只能從左上角元素開始向下移動到達，此時的路徑是唯一的，因此每個元素對應的最小路徑和即為對應的路徑上的數字總和。

具體思路

動態規劃

• 狀態定義

  設 dp 為大小 m×n 矩陣，其中 dp[i] [j] 的值代表直到走到 (i,j) 的最小路徑和。

• 轉移方程

  走到當前單元格 (i,j) 的最小路徑和 = “從左方單元格 (i−1,j) 與 從上方單元格 (i,j−1) 走來的 兩個最小路徑和中較小的 ” +當前單元格值 grid[i] [j] 。

提示

程式碼

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        if(grid.length == 0 || grid[0].length == 0){
            return 0;
        }
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[row][col];
        dp[0][0] = grid[0][0];
      //當 i>0 且 j=0 時，dp[i][0]=dp[i−1][0]+grid[i][0]
        for(int i = 1 ; i < row ; i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]; 
        }
      //當 j>0 且 i=0 時，dp[0][j]=dp[0][j-1]+grid[0][j]
        for(int j = 1 ; j < col ; j++){
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
        }
      //當 j>0 且 i>0 時，dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]
        for(int i = 1 ; i < row; i++){
            for(int j = 1 ; j < col; j++){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j] + grid[i][j],dp[i][j-1] + grid[i][j]);
            }
        }
        return dp[row-1][col-1];
    }
}
 

複雜度分析：

• 時間複雜度 O(M×N) ： 遍歷整個 grid矩陣元素。
• 空間複雜度 O(M×N) ：其中 m 和 n分別是網格的行數和列數。建立一個二維陣列 dp，和網格大小相同。

其他優秀解答

解題思路

動態規劃，每次只儲存上一行的 dp 值，則可以將空間複雜度優化到 O(n)。

程式碼

public int minPathSum(int[][] grid) {
		int len = grid[0].length;
		int[] dp = new int[len];
		dp[0] = grid[0][0];
		for (int i = 1; i < len; i++) 
			dp[i]=dp[i-1]+grid[0][i];
		for (int i = 1; i < grid.length; i++) {
			dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
			for (int j = 1; j < len; j++) 
				dp[j] = Math.min(dp[j-1]+grid[i][j], dp[j]+grid[i][j]);
		}
		return dp[len-1];
}