每日一題 - 64. 最小路徑和
阿新 • • 發佈:2020-07-23
題目資訊
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時間: 2019-07-23
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題目連結:Leetcode
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tag: 動態規劃
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難易程度:中等
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題目描述:
給定一個包含非負整數的 m x n 網格,請找出一條從左上角到右下角的路徑,使得路徑上的數字總和為最小。
說明:每次只能向下或者向右移動一步。
示例1:
輸入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
輸出: 7
解釋: 因為路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。
解題思路
本題難點
路徑的方向只能是向下或向右,因此網格的第一行的每個元素只能從左上角元素開始向右移動到達,網格的第一列的每個元素只能從左上角元素開始向下移動到達,此時的路徑是唯一的,因此每個元素對應的最小路徑和即為對應的路徑上的數字總和。
具體思路
動態規劃
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狀態定義
設 dp 為大小 m×n 矩陣,其中 dp[i] [j] 的值代表直到走到 (i,j) 的最小路徑和。
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轉移方程
走到當前單元格 (i,j) 的最小路徑和 = “從左方單元格 (i−1,j) 與 從上方單元格 (i,j−1) 走來的 兩個最小路徑和中較小的 ” +當前單元格值 grid[i] [j] 。
提示
程式碼
class Solution { public int minPathSum(int[][] grid) { if(grid.length == 0 || grid[0].length == 0){ return 0; } int row = grid.length; int col = grid[0].length; int[][] dp = new int[row][col]; dp[0][0] = grid[0][0]; //當 i>0 且 j=0 時,dp[i][0]=dp[i−1][0]+grid[i][0] for(int i = 1 ; i < row ; i++){ dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]; } //當 j>0 且 i=0 時,dp[0][j]=dp[0][j-1]+grid[0][j] for(int j = 1 ; j < col ; j++){ dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]; } //當 j>0 且 i>0 時,dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j] for(int i = 1 ; i < row; i++){ for(int j = 1 ; j < col; j++){ dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j] + grid[i][j],dp[i][j-1] + grid[i][j]); } } return dp[row-1][col-1]; } }
複雜度分析:
- 時間複雜度 O(M×N) : 遍歷整個 grid矩陣元素。
- 空間複雜度 O(M×N) :其中 m 和 n分別是網格的行數和列數。建立一個二維陣列 dp,和網格大小相同。
其他優秀解答
解題思路
動態規劃,每次只儲存上一行的 dp 值,則可以將空間複雜度優化到 O(n)。
程式碼
public int minPathSum(int[][] grid) { int len = grid[0].length; int[] dp = new int[len]; dp[0] = grid[0][0]; for (int i = 1; i < len; i++) dp[i]=dp[i-1]+grid[0][i]; for (int i = 1; i < grid.length; i++) { dp[0] = dp[0] + grid[i][0]; for (int j = 1; j < len; j++) dp[j] = Math.min(dp[j-1]+grid[i][j], dp[j]+grid[i][j]); } return dp[len-1]; }