哈夫曼（huffman）樹和哈夫曼編碼
目錄
正文
哈夫曼樹
哈夫曼樹也叫最優二叉樹（哈夫曼樹）
問題：什麼是哈夫曼樹？
例：將學生的百分制成績轉換為五分製成績：≥90 分: A，80～89分: B，70～79分: C，60～69分: D，＜60分: E。
if (a < 60){
b = 'E';
}
else if (a < 70) {
b = ‘D’;
}
else if (a<80) {
b = ‘C’;
}
else if (a<90){
b = ‘B’;
}
else {
b = ‘A’;
}判別樹：用於描述分類過程的二叉樹。
如果每次輸入量都很大，那麼應該考慮程式執行的時間
如果學生的總成績資料有10000條，則5％的資料需 1 次比較，15％的資料需 2 次比較，40％的資料需 3 次比較，40％的資料需 4 次比較，因此 10000 個數據比較的
次數為： 10000 (5％＋2×15％＋3×40％＋4×40％)＝31500次
此種形狀的二叉樹，需要的比較次數是：10000 (3×20％＋2×80％)＝22000次，顯然：兩種判別樹的效率是不一樣的。
問題：能不能找到一種效率最高的判別樹呢?
那就是哈夫曼樹
回憶樹的基本概念和術語
路徑：若樹中存在一個結點序列k1,k2,…,kj，使得ki是ki+1的雙親，則稱該結點序列是從k1到kj的一條路徑。 路徑長度：等於路徑上的結點數減1。 結點的權：在許多應用中，常常將樹中的結點賦予一個有意義的數，稱為該結點的權。 結點的帶權路徑長度：是指該結點到樹根之間的路徑長度與該結點上權的乘積。 樹的帶權路徑長度：樹中所有葉子結點的帶權路徑長度之和，通常記作： 其中，n表示葉子結點的數目，wi和li分別表示葉子結點ki的權值和樹根結點到葉子結點ki之間的路徑長度。 赫夫曼樹（哈夫曼樹，huffman樹）定義： 在權為w1,w2,…,wn的n個葉子結點的所有二叉樹中，帶權路徑長度WPL最小的二叉樹稱為赫夫曼樹或最優二叉樹。例：有4 個結點 a, b, c, d，權值分別為 7, 5, 2, 4，試構造以此 4 個結點為葉子結點的二叉樹。
WPL=7´2+5´2+2´2+4´2= 36
WPL=7´3+5´3+2´1+4´2= 46
WPL=7´1+5´2+2´3+4´3= 35
WPL=7´1+5´2+2´3+4´3= 35
後兩者其實就是最有二叉樹（也就是哈夫曼樹）
哈夫曼樹的構造(哈夫曼演算法) 1.根據給定的n個權值{w1,w2,…,wn}構成二叉樹集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉樹Ti中只有一個帶權為wi的根結點,其左右子樹為空. 2.在F中選取兩棵根結點權值最小的樹作為左右子樹構造一棵新的二叉樹,且置新的二叉樹的根結點的權值為左右子樹根結點的權值之和. 3.在F中刪除這兩棵樹,同時將新的二叉樹加入F中. 4.重複2、3,直到F只含有一棵樹為止.(得到哈夫曼樹)例：有4 個結點 a, b, c, d，權值分別為 7, 5, 2, 4，構造哈夫曼樹。
根據給定的n個權值{w1,w2,…,wn}構成二叉樹集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉樹Ti中只有一個帶權為wi的根結點,其左右子樹為空.
在F中選取兩棵根結點權值最小的樹作為左右子樹構造一棵新的二叉樹,且置新的二叉樹的根結點的權值為左右子樹根結點的權值之和.
在F中刪除這兩棵樹,同時將新的二叉樹加入F中.
重複,直到F只含有一棵樹為止.(得到哈夫曼樹)
關於哈夫曼樹的注意點：
1、滿二叉樹不一定是哈夫曼樹
2、哈夫曼樹中權越大的葉子離根越近 （很好理解，WPL最小的二叉樹）
3、具有相同帶權結點的哈夫曼樹不惟一
4、哈夫曼樹的結點的度數為 0 或 2， 沒有度為 1 的結點。
5、包含 n 個葉子結點的哈夫曼樹中共有2n – 1 個結點。
6、包含 n 棵樹的森林要經過 n–1 次合併才能形成哈夫曼樹，共產生 n–1 個新結點
再看一個例子：如權值集合W={7,19,2,6,32,3,21,10 }構造赫夫曼樹的過程。根據給定的n個權值{w1,w2,…,wn}構成二叉樹集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉樹Ti中只有一個帶權為wi的根結點,其左右子樹為空.
在F中選取兩棵根結點權值最小的樹
作為左右子樹構造一棵新的二叉樹，置新的二叉樹的根結點的權值為左右子樹根結點的權值之和
在F中刪除這兩棵樹,同時將新的二叉樹加入F中.
重複,直到F只含有一棵樹為止.(得到哈夫曼樹)
在F中刪除這兩棵樹,同時將新的二叉樹加入F中.
構造完畢（哈夫曼樹，最有二叉樹），也就是最佳判定樹
哈夫曼編碼
哈夫曼樹的應用很廣，哈夫曼編碼就是其在電訊通訊中的應用之一。廣泛地用於資料檔案壓縮的十分有效的編碼方法。其壓縮率通常在20%～90%之間。在電訊通訊業務中，通常用二進位制編碼來表示字母或其他字元，並用這樣的編碼來表示字元序列。
例：如果需傳送的電文為 ‘ABACCDA’，它只用到四種字元，用兩位二進位制編碼便可分辨。假設 A, B, C, D 的編碼分別為 00, 01,10, 11，則上述電文便為 ‘00010010101100’（共 14 位），譯碼員按兩位進行分組譯碼，便可恢復原來的電文。
能否使編碼總長度更短呢？
實際應用中各字元的出現頻度不相同，用短（長）編碼表示頻率大（小）的字元，使得編碼序列的總長度最小，使所需總空間量最少
資料的最小冗餘編碼問題
在上例中，若假設 A, B, C, D 的編碼分別為 0，00，1，01，則電文 ‘ABACCDA’ 便為 ‘000011010’（共 9 位），但此編碼存在多義性：可譯為： ‘BBCCDA’、‘ABACCDA’、‘AAAACCACA’ 等。
譯碼的惟一性問題
要求任一字元的編碼都不能是另一字元編碼的字首，這種編碼稱為字首編碼（其實是非字首碼）。在編碼過程要考慮兩個問題，資料的最小冗餘編碼問題，譯碼的惟一性問題，利用最優二叉樹可以很好地解決上述兩個問題
用二叉樹設計二進位制字首編碼
以電文中的字元作為葉子結點構造二叉樹。然後將二叉樹中結點引向其左孩子的分支標 ‘0’，引向其右孩子的分支標 ‘1’； 每個字元的編碼即為從根到每個葉子的路徑上得到的 0, 1 序列。如此得到的即為二進位制字首編碼。
編碼： A：0，C：10，B：110，D：111
任意一個葉子結點都不可能在其它葉子結點的路徑中。
用哈夫曼樹設計總長最短的二進位制字首編碼
假設各個字元在電文中出現的次數（或頻率）為 wi ，其編碼長度為 li，電文中只有 n 種字元，則電文編碼總長為：
設計電文總長最短的編碼，設計哈夫曼樹（以 n 種字元出現的頻率作權），
由哈夫曼樹得到的二進位制字首編碼稱為哈夫曼編碼
例：如果需傳送的電文為 ‘ABACCDA’，即：A, B, C, D
的頻率（即權值）分別為 0.43, 0.14, 0.29, 0.14，試構造哈夫曼編碼。
編碼： A：0，C：10， B：110，D：111 。電文 ‘ABACCDA’ 便為 ‘0110010101110’（共 13 位）。
例：如果需傳送的電文為 ‘ABCACCDAEAE’，即：A, B, C, D, E 的頻率（即權值）分別為0.36, 0.1, 0.27, 0.1, 0.18，試構造哈夫曼編碼。
編碼： A：11，C：10，E：00，B：010，D：011 ，則電文 ‘ABCACCDAEAE’ 便為 ‘110101011101001111001100’（共 24 位，比 33 位短）。
譯碼 從哈夫曼樹根開始，對待譯碼電文逐位取碼。若編碼是“0”，則向左走；若編碼是“1”，則向右走，一旦到達葉子結點，則譯出一個字元；再重新從根出發，直到電文結束。電文為 “1101000” ，譯文只能是“CAT”
哈夫曼編碼演算法的實現
由於哈夫曼樹中沒有度為1的結點，則一棵有n個葉子的哈夫曼樹共有2×n-1個結點，可以用一個大小為2×n-1 的一維陣列存放哈夫曼樹的各個結點。 由於每個結點同時還包含其雙親資訊和孩子結點的資訊，所以構成一個靜態三叉連結串列。
1 //haffman 樹的結構
2 typedef struct
3 {
4 //葉子結點權值
5 unsigned int weight;
6 //指向雙親，和孩子結點的指標
7 unsigned int parent;
8 unsigned int lChild;
9 unsigned int rChild;
10 } Node, *HuffmanTree;
11
12 //動態分配陣列，儲存哈夫曼編碼
13 typedef char *HuffmanCode;
14
15 //選擇兩個parent為0，且weight最小的結點s1和s2的方法實現
16 //n 為葉子結點的總數，s1和 s2兩個指標引數指向要選取出來的兩個權值最小的結點
17 void select(HuffmanTree *huffmanTree, int n, int *s1, int *s2)
18 {
19 //標記 i
20 int i = 0;
21 //記錄最小權值
22 int min;
23 //遍歷全部結點，找出單節點
24 for(i = 1; i <= n; i++)
25 {
26 //如果此結點的父親沒有，那麼把結點號賦值給 min，跳出迴圈
27 if((*huffmanTree)[i].parent == 0)
28 {
29 min = i;
30 break;
31 }
32 }
33 //繼續遍歷全部結點，找出權值最小的單節點
34 for(i = 1; i <= n; i++)
35 {
36 //如果此結點的父親為空，則進入 if
37 if((*huffmanTree)[i].parent == 0)
38 {
39 //如果此結點的權值比 min 結點的權值小，那麼更新 min 結點，否則就是最開始的 min
40 if((*huffmanTree)[i].weight < (*huffmanTree)[min].weight)
41 {
42 min = i;
43 }
44 }
45 }
46 //找到了最小權值的結點，s1指向
47 *s1 = min;
48 //遍歷全部結點
49 for(i = 1; i <= n; i++)
50 {
51 //找出下一個單節點，且沒有被 s1指向，那麼i 賦值給 min，跳出迴圈
52 if((*huffmanTree)[i].parent == 0 && i != (*s1))
53 {
54 min = i;
55 break;
56 }
57 }
58 //繼續遍歷全部結點，找到權值最小的那一個
59 for(i = 1; i <= n; i++)
60 {
61 if((*huffmanTree)[i].parent == 0 && i != (*s1))
62 {
63 //如果此結點的權值比 min 結點的權值小，那麼更新 min 結點，否則就是最開始的 min
64 if((*huffmanTree)[i].weight < (*huffmanTree)[min].weight)
65 {
66 min = i;
67 }
68 }
69 }
70 //s2指標指向第二個權值最小的葉子結點
71 *s2 = min;
72 }
73
74 //建立哈夫曼樹並求哈夫曼編碼的演算法如下，w陣列存放已知的n個權值
75 void createHuffmanTree(HuffmanTree *huffmanTree, int w[], int n)
76 {
77 //m 為哈夫曼樹總共的結點數，n 為葉子結點數
78 int m = 2 * n - 1;
79 //s1 和 s2 為兩個當前結點裡，要選取的最小權值的結點
80 int s1;
81 int s2;
82 //標記
83 int i;
84 // 建立哈夫曼樹的結點所需的空間，m+1，代表其中包含一個頭結點
85 *huffmanTree = (HuffmanTree)malloc((m + 1) * sizeof(Node));
86 //1--n號存放葉子結點，初始化葉子結點，結構陣列來初始化每個葉子結點，初始的時候看做一個個單個結點的二叉樹
87 for(i = 1; i <= n; i++)
88 {
89
90 //其中葉子結點的權值是 w【n】陣列來儲存
91 (*huffmanTree)[i].weight = w[i];
92 //初始化葉子結點（單個結點二叉樹）的孩子和雙親，單個結點，也就是沒有孩子和雙親，==0
93 (*huffmanTree)[i].lChild = 0;
94 (*huffmanTree)[i].parent = 0;
95 (*huffmanTree)[i].rChild = 0;
96 }// end of for
97 //非葉子結點的初始化
98 for(i = n + 1; i <= m; i++)
99 {
100 (*huffmanTree)[i].weight = 0;
101 (*huffmanTree)[i].lChild = 0;
102 (*huffmanTree)[i].parent = 0;
103 (*huffmanTree)[i].rChild = 0;
104 }
105
106 printf("\n HuffmanTree: \n");
107 //建立非葉子結點，建哈夫曼樹
108 for(i = n + 1; i <= m; i++)
109 {
110 //在(*huffmanTree)[1]~(*huffmanTree)[i-1]的範圍內選擇兩個parent為0
111 //且weight最小的結點，其序號分別賦值給s1、s2
112 select(huffmanTree, i-1, &s1, &s2);
113 //選出的兩個權值最小的葉子結點，組成一個新的二叉樹，根為 i 結點
114 (*huffmanTree)[s1].parent = i;
115 (*huffmanTree)[s2].parent = i;
116 (*huffmanTree)[i].lChild = s1;
117 (*huffmanTree)[i].rChild = s2;
118 //新的結點 i 的權值
119 (*huffmanTree)[i].weight = (*huffmanTree)[s1].weight + (*huffmanTree)[s2].weight;
120
121 printf("%d (%d, %d)\n", (*huffmanTree)[i].weight, (*huffmanTree)[s1].weight, (*huffmanTree)[s2].weight);
122 }
123
124 printf("\n");
125 }
126
127 //哈夫曼樹建立完畢，從 n 個葉子結點到根，逆向求每個葉子結點對應的哈夫曼編碼
128 void creatHuffmanCode(HuffmanTree *huffmanTree, HuffmanCode *huffmanCode, int n)
129 {
130 //指示biaoji
131 int i;
132 //編碼的起始指標
133 int start;
134 //指向當前結點的父節點
135 int p;
136 //遍歷 n 個葉子結點的指示標記 c
137 unsigned int c;
138 //分配n個編碼的頭指標
139 huffmanCode=(HuffmanCode *)malloc((n+1) * sizeof(char *));
140 //分配求當前編碼的工作空間
141 char *cd = (char *)malloc(n * sizeof(char));
142 //從右向左逐位存放編碼，首先存放編碼結束符
143 cd[n-1] = '\0';
144 //求n個葉子結點對應的哈夫曼編碼
145 for(i = 1; i <= n; i++)
146 {
147 //初始化編碼起始指標
148 start = n - 1;
149 //從葉子到根結點求編碼
150 for(c = i, p = (*huffmanTree)[i].parent; p != 0; c = p, p = (*huffmanTree)[p].parent)
151 {
152 if( (*huffmanTree)[p].lChild == c)
153 {
154 //從右到左的順序編碼入陣列內
155 cd[--start] = '0'; //左分支標0
156 }
157 else
158 {
159 cd[--start] = '1'; //右分支標1
160 }
161 }// end of for
162 //為第i個編碼分配空間
163 huffmanCode[i] = (char *)malloc((n - start) * sizeof(char));
164
165 strcpy(huffmanCode[i], &cd[start]);
166 }
167
168 free(cd);
169 //列印編碼序列
170 for(i = 1; i <= n; i++)
171 {
172 printf("HuffmanCode of %3d is %s\n", (*huffmanTree)[i].weight, huffmanCode[i]);
173 }
174
175 printf("\n");
176 }
177
178 int main(void)
179 {
180 HuffmanTree HT;
181 HuffmanCode HC;
182 int *w,i,n,wei,m;
183
184 printf("\nn = " );
185
186 scanf("%d",&n);
187
188 w=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
189
190 printf("\ninput the %d element's weight:\n",n);
191
192 for(i=1; i<=n; i++)
193 {
194 printf("%d: ",i);
195 fflush(stdin);
196 scanf("%d",&wei);
197 w[i]=wei;
198 }
199
200 createHuffmanTree(&HT, w, n);
201 creatHuffmanCode(&HT,&HC,n);
202
203 return 0;
204 }
補充：樹的計數
已知先序序列和中序序列可確定一棵唯一的二叉樹；
已知後序序列和中序序列可確定一棵唯一的二叉樹；
已知先序序列和後序序列不能確定一棵唯一的二叉樹。