一、動態規劃的原理

動態規劃(dynamic programming)是運籌學的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優化問題時，提出了著名的最優化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法–動態規劃。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，這是該領域的第一本著作。

動態規劃一般可分為線性動規，區域動規，樹形動規，揹包動規四類。舉例:線性動規:攔截導彈，合唱隊形，挖地雷，建學校，劍客決鬥等;區域動規:石子合併， 加分二叉樹，統計單詞個數，炮兵佈陣等;樹形動規:貪吃的九頭龍，二分查詢樹，聚會的歡樂，數字三角形等;揹包問題:01揹包問題，完全揹包問題，多重揹包問題，分組揹包問題，二維揹包，裝箱問題，擠牛奶(同濟ACM第1132題)等;

二、分析與程式碼實現

1、分析

題目：在某個深夜裡，一個小偷揹著一個總共只能裝16v體積的揹包進入一家商店偷東西。假如店裡有手機一部，價格為2000元，體積為1v；薯片一包，價格為5元，體積為5v；翡翠一塊，價格為100000元，體積為10v；一套四大名著，價格30元，體積為6v；電腦一臺，價格為6000元，體積為10v。怎麼樣能夠讓揹包裝的下，並且又能使拿到的東西總價格最多？

這種情況下，一共5件東西。小偷偷東西的事件只有兩種：拿，不拿。
當他拿的時候，揹包體積變小，物件數量減1；當他不拿的時候，揹包體積不變，物件數量減1（因為小偷選擇不拿這件東西的時候不會返回繼續拿，所以他失去了這件東西選擇的機會）。

物件數量為i，揹包容納量為v。

1.不拿 b(i-1,v)

2.拿 b(i-1，v-該物品的體積)

兩者取最大值

核心程式碼：

b[i][j]=Math.max(b[i-1][j],b[i-1][j-v]+p);

2、程式碼分析

public class _揹包問題 {

 //物品體積
 private static int[] volume={1,5,10,6,10};
 //物品價格
 private static int[] price={2000,100000,30,6000};
 //揹包容量
 private static int maxVolumen=16;
 //物品數量
 private static int count=5;

 public static int solution(int maxVolumen,int count,int[] volume,int[] price){
  int[][] b=new int[count+1][maxVolumen+1];
  for (int i=1;i<=count;i++){
   //拿到物品的價格
   int p=price[i-1]; 
   //拿到物品的體積
   int v=volume[i-1]; 
   for (int j=1;j<=maxVolumen;j++){
    //如果物品的體積大於揹包容量時，選擇不拿。
    if (j<v){
     b[i][j]=b[i-1][j];
     continue;
    }
    b[i][j]=Math.max(b[i-1][j],b[i-1][j-v]+p);
   }
  }
  return b[count][maxVolumen];
 }

 public static void main(String[] args) {
  System.out.println(solution(16,volume,price));
 }
}

總結

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