技術標籤：演算法和資料結構

常用演算法之動態規劃學習筆記

動態規劃問題的一般形式是求最值，求解動態規劃的核心問題是窮舉，窮舉所有的答案找最值。
因為這類問題存在 重疊子問題 的情況，所以需要 備忘錄（自頂向下）或者DP(Dynamic Programming) table（自底向上） 來優化窮舉過程。一定存在最優子結構（子問題的解答互相之間不影響），才能通過子問題的最值得到原問題最值。
因此有動態規劃三要素：重疊子問題、最優子結構、狀態轉移方程。
如斐波那契數列可以用動態規劃的思想進行優化，下面以經典樣例 湊零錢問題 為例，闡釋動態規劃問題的解決方式。
問題描述：
給你k種⾯值的硬幣，⾯值分別為c1, c2 … ck ，每種硬幣的數量⽆限，再給⼀個總⾦額amount ，問你最少需要⼏枚硬幣湊出這個⾦額，如果不可能湊出，演算法返回 -1 。

1. 先確定狀態，原問題和子問題中變化的變數，硬幣數量無限，所以唯一的狀態是目標金額amount
2. 確定dp 函式的定義：當前的目標金額為n，至少需要 dp(n) 個硬幣湊整
3. 確定選擇並擇優，列出n取不同情況時的dp(n)取值，同時明確base case，也就是n = 0或n < 0特殊情況時的返回值
   得到狀態轉移方程：
   

對應的Java程式碼：

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int
 
[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1;i <= amount;i++) {
            boolean hasChange = false;
            int min = amount;
            for (int coin : coins) {
                int index = i - coin;
                if (index >= 0 && dp[index] >= 0) {
                    int
 
 value = dp[index] + 1;
                    if (min > value) {
                        min = value;
                    }
                    hasChange = true;
                }
            }
            if (!hasChange) {
                dp[i] = -1;
            } else {
                dp[i] = min;
            }

        }
        return dp[amount];
    }