朱劉演算法學習筆記
阿新 • • 發佈：2020-11-20
提出問題
首先給出樹形圖的定義：（可以近似理解為有向圖上的生成樹）（定義取自訓練指南）
- 有向圖中定義
- 無環
- 根節點可以到達任意一個節點
- 根節點入度為 0 ，其他節點入度為 1
然後是最小樹形圖：
- 邊權和最小的樹形圖。
分析問題
演算法簡介
這個演算法名叫 朱-劉演算法，根據網上說法是 朱永津-劉振巨集 發明的，
1965年,提出最小樹形圖演算法,運用圖的收縮與擴張的運算,繪出了在一個有向圖中求最小樹形圖的一個多項式演算法,在擬陣交計算上為首創,被稱為“朱-劉演算法”。
流程
Warning: 以下說明的是 樹有根 的情況。
首先放一張 luogu題解 的圖：（第二張看上去並不友好，於是拿了第一張）
- 首先，每個點的出度可能會有多個，不好考慮，所以按照入度為 \(1\) （非根）這個性質來思考。
- 容易想到，每次對除根外每個點找出權值最小的入邊並累計入答案中。
- 判斷選出的邊是否存在環，如果沒有就說明找到了最小樹形圖，退出。
- 將所有環縮點，構造一個新圖，對於原圖的每條邊：如果這條邊在環內，刪去；否則，如果該邊的終點（指向節點）在環內，將權值修改為（這條邊原先的權值-終點在環上的入邊權值）
- 重複這個步驟，直到滿足無環為止。
正確性證明
- 其實朱劉演算法本質是一個反悔貪心
- 對於每個環，顯然一定存在一個最優解，只去掉一條邊（如果選了兩條，把其中一條選回去，答案不會變差）
- 如果你選了新的權值（就是作差過的），相當於去掉環上對應的入邊，然後改選了當前這一條。程式裡不需要判終點是否在環內，直接把不在環上的點當做一個環處理即可。因為這樣修改邊權，減去的權值就是原來的邊權，就和“選這一條邊”的意義是一樣的了。
- 每次縮點點數至少會減一，複雜度 \(O(VE)\)
拓展——不定根
這個其實和 多源最短路 之類的解決方法是類似的，考慮對每個點都連到一個虛根 \(rt\) ，\(n\) 條邊均由 \(rt\) 指向其他點，並且把邊權設定為 (原來的所有邊權和 \(sum\) +1) 。然後就可以跑有根的朱劉了。
如果最後跑出來，權值和 \(>2\times sum\) 說明用了兩條新的邊，但是原圖的樹形圖裡面顯然不可能存在兩個根節點，所以原圖是無法形成最小樹形圖的。
否則就可以根據唯一的一條新加邊指向的點確定樹形圖的根節點，因為它除了 \(rt\) 以外，沒有被原圖中任何其他節點指向。
解決問題
程式碼來源： P4716 【模板】最小樹形圖
如果你需要通過程式碼更好地理解演算法，那麼這裡提供：
程式碼變數名稱約定
n,m,rt：題目給出的點數，邊數，根節點
min_pre[],fa[]：每次執行中找到的最小入邊的權值，入邊的起點
cnt_cyc,incyc_id[]：環的編號計數，每個點在哪個環裡面
f[]：類似並查集中的最高祖先，找一個點沿著入邊往上跳的最終節點
程式碼實現：
//Author: RingweEH
const int N=110,M=1e4+10,inf=0x3f3f3f3f;
struct edge
{
int u,v; ll val;
}e[M];
int n,m,rt,cnt_cyc,fa[N],incyc_id[N],f[N],min_pre[N];
ll ans=0;
int ZhuLiu()
{
while ( 1 )
{
cnt_cyc=0;
for ( int i=1; i<=n; i++ )
incyc_id[i]=f[i]=0,min_pre[i]=inf;
//---------------------init----------------------
for ( int i=1; i<=m; i++ )
if ( e[i].u!=e[i].v && e[i].val<min_pre[e[i].v] )
fa[e[i].v]=e[i].u,min_pre[e[i].v]=e[i].val;
//--------------找每個點的最小入邊---------------
int now=min_pre[rt]=0;
for ( int i=1; i<=n; i++ )
{
if ( min_pre[i]==inf ) return 0; //孤立點特判
ans+=min_pre[i]; //不管如何先把邊權加進去就好了
for ( now=i; now!=rt && f[now]!=i && !incyc_id[now]; now=fa[now] )
f[now]=i; //從i不斷往選定的入邊跳，途中不能往其他已經判定的環裡面跳
if ( now!=rt && !incyc_id[now] )
//看上面迴圈的判斷條件，只滿足了 f[now]==i ，也就是形成了環
{
incyc_id[now]=++cnt_cyc;
for ( int v=fa[now]; v!=now; v=fa[v] )
incyc_id[v]=cnt_cyc;
}
}
if ( !cnt_cyc ) return 1;
//-----------------------找環----------------------
for ( int i=1; i<=n; i++ ) //給不在環中的點也賦一個標號，方便判斷
if ( !incyc_id[i] ) incyc_id[i]=++cnt_cyc;
for ( int i=1; i<=m; i++ )
{
int las=min_pre[e[i].v]; //e[i].v的最小入邊權
e[i].u=incyc_id[e[i].u]; e[i].v=incyc_id[e[i].v]; //縮成同一個點，也就是環編號
if ( e[i].u!=e[i].v ) e[i].val-=las; //如果不在同一個環裡面就修改邊權
}
n=cnt_cyc; rt=incyc_id[rt]; //縮點完成後的點數就是環的個數，並更新根節點編號。
}
}
int main()
{
n=read(); m=read(); rt=read();
for ( int i=1; i<=m; i++ )
e[i]=(edge){read(),read(),read()};
if ( ZhuLiu() ) printf( "%lld",ans );
else printf( "-1\n" );
return 0;
}
習題
題意：你需要花費不超過 \(cost\) 元來搭建一個比賽網路。網路中有 \(n\) 臺機器，編號 \(0\sim n-1\) ，0 為服務機，其他均為客戶機。一共有 \(m\) 條可以使用的網線，資料只能從 \(u_i\to v_i\) 單向傳遞，頻寬 \(b_i\) Kbps，費用 \(c_i\) 元。每臺客戶機應當恰好從一臺機器接受資料，伺服器不接受資料。最大化最小頻寬。
思路：如果要最大化最小頻寬，很容易想到二分最小頻寬並去掉所有小於頻寬的邊。而讓所有客戶機都能收到，其實就是服務機要能到達每個客戶機，要是對性質熟悉的話就很容易想到樹形圖。那麼對於二分的判定，只需要求出從 0 出發的最小樹形圖，判斷權值和是否超過給定 \(cost\) 即可。
//Author: RingweEH
int ZhuLiu()
{
ans=0;
while ( 1 )
{
cnt_cyc=0;
for ( int i=1; i<=n; i++ )
incyc_id[i]=f[i]=fa[i]=0,min_pre[i]=inf;
for ( int i=1; i<=newm; i++ )
if ( e[i].u!=e[i].v && e[i].val<min_pre[e[i].v] )
fa[e[i].v]=e[i].u,min_pre[e[i].v]=e[i].val;
int now=min_pre[rt]=0;
for ( int i=1; i<=n; i++ )
{
if ( min_pre[i]==inf ) return -1;
ans+=min_pre[i];
for ( now=i; now!=rt && f[now]!=i && !incyc_id[now]; now=fa[now] )
f[now]=i;
if ( now!=rt && !incyc_id[now] )
{
incyc_id[now]=++cnt_cyc;
for ( int v=fa[now]; v!=now; v=fa[v] )
incyc_id[v]=cnt_cyc;
}
}
if ( !cnt_cyc ) break;
for ( int i=1; i<=n; i++ )
if ( !incyc_id[i] ) incyc_id[i]=++cnt_cyc;
for ( int i=1; i<=newm; i++ )
{
int las=min_pre[e[i].v];
e[i].u=incyc_id[e[i].u]; e[i].v=incyc_id[e[i].v];
if ( e[i].u!=e[i].v ) e[i].val-=las;
}
n=cnt_cyc; rt=incyc_id[rt];
}
return ans;
}
bool check( int x )
{
rt=1; n=savn; newm=0;
for ( int i=1; i<=m; i++ )
if ( save[i].wide>=x ) e[++newm]=save[i];
int answer=ZhuLiu();
return answer!=-1 && answer<=cost;
}
int main()
{
int T=read(); n=-1;
for ( int cas=1;cas<=T; cas++)
{
n=savn=read(); m=read(); cost=read(); int mxwid=0;
for ( int i=1; i<=m; i++ )
{
e[i].u=read()+1,e[i].v=read()+1; e[i].wide=read(); e[i].val=read();
mxwid=max( mxwid,e[i].wide ); save[i]=e[i];
}
int l=0,r=mxwid,res=-1;
while ( l<=r )
{
int mid=(l+r)>>1;
if ( check(mid) ) l=mid+1,res=mid;
else r=mid-1;
}
if ( res==-1 ) { printf( "streaming not possible.\n" ); continue; }
printf( "%d kbps\n",res );
}
}