一、樹的刪邊遊戲

給出一棵有根樹，兩人輪流操作，每人每次可以選擇一條邊刪去，不與根節點相連的部分將被移走。無法操作者輸。

結論：葉子節點的 \(\text{SG}\) 值為 \(0\)；中間節點的 \(\text{SG}\) 值為它的所有子節點的「\(\text{SG}\) 值加 \(1\)」的異或和。這樣就可以推出根節點的\(\text{SG}\)值。證明。

二、POJ 3710 Christmas Game

Description

有\(n\) 個區域性連通的圖，兩人輪流操作，每人每次可以選擇一條邊刪去，不與根節點相連的部分將被移走。無法操作者輸。（圖是通過從基礎樹上加一些邊得到的，環與環之間無公共邊，且只與基礎樹有一個公共點。）

Solution

與「樹的刪邊遊戲」不同的在於圖中出現了環。所以環可以單獨考慮。

分析環的性質：環保證不共用邊，且只與基礎樹有一個公共點。因此所有的環都是從樹中某一個點連出又連回同一個點的簡單環。

• 對於長度為奇數的環，去掉其中任意一條邊後，剩下的兩個鏈長度同奇偶，異或之後的\(\text{SG}\)值不可能為奇數，並且可能為\(0\)。所以進行 \(\text{mex}\) 運算後它的 \(\text{SG}\) 值為 \(1\)。

• 對於長度為奇數的環，去掉其中任意一條邊後，剩下的兩個鏈長度不同奇偶，異或之後的\(\text{SG}\)值不可能為 \(0\)。所以進行 \(\text{mex}\)
  運算後它的 \(\text{SG}\) 值為 \(0\)。實際上它並沒有貢獻。

所以可以去掉所有的偶環，將所有的奇環變為長度為\(1\) 的鏈，轉化為「樹的刪邊遊戲」的模型。

算出每一棵樹的 \(\text{SG}\) 值，再把所有根節點的\(\text{SG}\)值異或起來即可。

具體實現時，不需要做「將所有的奇環變為長度為\(1\)的鏈」的操作，只需考慮奇環的貢獻。

#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int t,n,m,x,y,cnt,hd[N],to[N<<1
 
],nxt[N<<1],top,s[N],sg[N],vis[N],ans;    //vis=0: 未訪問過  vis=1: 訪問過且不是某個環上的點（不考慮樹上的點）  vis=-1: 訪問過且是某個環上的點 
void add(int x,int y){
    to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int fa){
    s[++top]=x,vis[x]=1,sg[x]=0;
    bool flag=0;
    for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(y==fa&&!flag){flag=1;continue;}     //第一次連向父節點 
        if(vis[y]==1){
            int cnt=1,now=x;
            while(now!=y) cnt++,vis[now]=-1,now=s[--top];
            if(cnt&1) sg[y]^=1;    //奇環 
        }
        else if(!vis[y]){
            dfs(y,x);
            if(~vis[y]) sg[x]^=(sg[y]+1);    //不在環上的才能更新 
        }
    }
    if(~vis[x]) --top;    //非環上的，及時出棧 
}
signed main(){
    while(~scanf("%lld",&t)){
        ans=0;
        while(t--){
            scanf("%lld%lld",&n,&m),cnt=top=0;
            for(int i=1;i<=n;i++) hd[i]=vis[i]=0;
            for(int i=1;i<=m;i++){
                scanf("%lld%lld",&x,&y);
                add(x,y),add(y,x);
            }
            dfs(1,0),ans^=sg[1];    //根節點的 SG 值異或起來 
        }
        puts(ans?"Sally":"Harry");
    }
    return 0;
}

三、圖的刪邊遊戲

「POJ3710 Christmas Game」去掉環的限制。即：給定一個無向連通圖，有一個點作為圖的根。兩人輪流操作，每人每次可以從圖中選擇一條邊刪去，不與根節點相連的部分將被移走。無法操作者輸。

對於這個模型，有一個定理——Fusion Principle。

結論：對無向圖做如下改動：將圖中的任意一個偶環縮成一個新點，任意一個奇環縮成一個新點加一條新邊；所有連到原先環上的邊全部改為與新點相連。這樣的改動不會影響圖的\(\text{SG}\)值。

因此可以將任意一個無向圖改成樹結構。然後就能把「圖的刪邊遊戲」轉化為「樹的刪邊遊戲」了。

四、參考資料

• 《組合遊戲略述——淺談 SG 遊戲的若干拓展及變形》（大部分內容摘自這兒）