技術標籤：矩陣乘法

Description

形如 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…的數列,求裴波拉契數列的第n項。

Input

1<n< 2 31 2^{31} 231

Output

一個數為裴波拉契數列的第n項mod 10000;

Sample Input

123456789

Sample Output

4514

思路：
一看 N N N的大小，暴力 O ( n ) O(n) O(n)遞推一定會炸掉，
我們考慮採用一種叫矩陣乘法的加速優化。
這裡就不介紹他的概念了戳這裡

矩陣乘法：
考慮一個1×2的矩陣[ f n − 2 , f n − 1 f_{n-2},f_{n-1}

所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】
又因為矩陣乘法滿足結合律，故有：
【f[1],f[2]】× A n − 1 A^{n-1} An−1=【f[n],f[n+1]】
這個矩陣的第一個元素即為所求。

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include
 
 <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const ll Mod = 1e4;
struct node
{
	ll x, y, a[40][40];
} A, B, C;
ll n;
node operator *(node x, node y) //矩陣乘法模板
{
	node ans;
	memset(ans.a, 0, sizeof(ans.a));
	ans.x = x.x, ans.y = y.y;
	for(ll k = 1; k <= x.y; k++)
	 for(ll i = 1; i <= x.
 
x; i++)
	  for(ll j = 1; j <= y.y; j++)
	  	ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % Mod) % Mod;
	return ans;

}
void ksm(ll k)  //計算A（矩陣）^n-1
{
	if(k == 1) {C = B; return ;}
	ksm(k >> 1);
	C = C * C;
	if(k & 1) C = C * B;
}
int main()
{
	scanf("%lld", &n);
	if(n < 3) {printf("1\n"); return 0;}
	A.a[1][2] = A.a[1][1] = 1, A.x = 1; A.y = 2; //遞推矩陣
	B.a[1][2]= B.a[2][1] = B.a[2][2] = 1, B.x = 2, B.y = 2;  //構造單位矩陣
	ksm(n - 1), C = A * C;
	printf("%lld", C.a[1][1] % Mod); 
	return 0;
}