\(\text{exgcd}\) 模板題

首先，我們需要知道 \(\text{B}\acute{e}\text{zout}\) 定理：對於任意整數 \(a,b\)，存在一對整數 \(x,y\)，滿足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。

證明（部分摘自藍書）：

在歐幾里得演算法（輾轉相除法）的最後一步，即 \(b=0\) 時，顯然有 \(x=1,y=0\)，使得 \(a\times1+b\times0=\gcd(a,0)\)。

若 \(b>0\)，則 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。假設存在一對整數 \(x,y\)，滿足 \(bx+(a\bmod b)y=\gcd(b,a\bmod b)\)

，因為

\[bx+(a\bmod b)y=bx+(a-b\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor)y=ay-b(x-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y) \]

所以令 \(x'=y,y'=x-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y\)，就得到了 \(ax'+by'=\gcd(a,b)\)。

在歐幾里得演算法的遞迴中應用數學歸納法，可知 \(\text{B}\acute{e}\text{zout}\) 定理成立。

\(\huge{證畢}\)

由此可得到程式碼：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b)return x=1,y=0,void();
    exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
 

對於每個詢問，由求出的 \(x,y\) 得出一組解即可，如 x y ax+by。