快速冪模板:

int ksm(int b, int p, int k){
    int ans = 1 % k;
    while(p){
        if(p & 1) ans = (long long)ans * b % k;
        b = (long long)b * b % k;
        p >>= 1;
    }
    return ans;
}

思想是將指數p分解為二進位制處理.由於結果數值經常很大,題目一般只要求給出取模後的答案.

而取模具有傳遞性,至少在只進行加減乘運算時,過程中何時取模,取多少次模都不會影響最終答案,前提是過程中不發生溢位.

注意這裡取模物件是int,故取模後一定是int範圍內的數值,但是要注意int與int相乘是會越過int範圍的,需要先進行(long long)強制轉換,取模後範圍變回int再賦值.

具體分析:

將p分解為:

p=a₀2⁰+a₁2¹+a₂2²+a₃2³+...+a_k-12^k-1,(p轉化為二進位制表示有k位)其中,a_i=0或1,

則b^p=b^{a02^0}*b^{a12^1}*b^{a22^2}* ... *b^{ak-12^(k-1)}.所以設ans為1,從最低位開始對p的每一位進行處理,若該位為1,則ans乘以左式對應的乘積項.位為0對應的乘積項顯然都變為了1,不需要相乘.

發現在忽略a_i的情況下,一個乘積項總是上一個乘積項的兩倍,因此設定一個變數記錄這個以2累乘的過程值便於計算.

複雜度分析:

上述過程的while迴圈進行了log p次,即複雜度為O(log n).這是比一遍遍地累乘原數值要快的(O(p),p為指數).