前言

　　在開發中，計算乘方，我們一般是使用 Math.pow()->double 方法來進行計算，這個方法最終呼叫的是一個本地方法 StrictMath.pow->double （Java）。

　　那如果要我們自己進行計算呢？原理非常簡單，a的n次方就是n個a相乘，當n小於0的時候，就是先計算乘方 -n 的結果，再將結果作為除數去除1即可：

 1 class Solution {
 2     public double myPow(double x, int n) {
 3         if( n==0 || x==1.0){ return 1.0; }
 4         if
 
(n<0){ return 1/(x*myPow(x,(n+1)*-1)); } // 針對如Integer.MIN_VALUE的情況，避免因為正負轉換導致的越界問題
 5         double res=x;
 6         while(n-->1){
 7             res*=x;
 8         }
 9         return res;
10      }
11  }

　　但如果就這麼實現，當n很大時時候（比如Integer.MAX_VALUE），求解的過程就要進行n-1次乘法，那整個計算過程消耗的時間就非常可觀了，如果在力扣中，還會出現下面的問題：

　　這個時候，我們就可以利用 快速冪 來實現乘方的加速，求解 a的n次方 時，使用快速冪，可以將演算法的時間複雜度降低到 O(log2n)。

1. 示例題目描述

　　原題：力扣劍指 Offer 16. 數值的整數次方

2. 原理描述

　　當我們計算 x的n次方時，針對指數n，假設n對應的二進位制數為：bm bm-1 bm-2 ... ... b2 b1，根據二進位制轉十進位制的演算法，可以得到：

　　　　n = 1*b1 + 2*b2 + 4*b3 + ... ... + 2^m-2*bm-1 + 2^m-1*bm

　　從而有

　　　　x^n = x^(1*b1

　　　　　　= x^1*b1 * x^2*b2 * x^4*b3 * ... ... * x^2^m-2*bm-1 * x^2^m-1*bm

　　這樣，我們就可以把求 x^n 的計算過程從 n-1 次乘法運算 降低到了 log2n次乘法運算。因為 bm 是 指數n 二進位制形式下的一個數字，所以 bm 的值只有兩種情況：1 或者 0。

　　1）當 bm=1 的時候，x^2^m-1*bm=x^2^m-1；

　　2）當bm=0 的時候，x^2^m-1*bm=x^0 = 1。

　　但我們可以注意到的是，x^2^m-1*bm中的2^m-1 部分只和 bm 在指數n二進位制形式下的位置有關，而與 bm 的值無關。

　　我們可以從 b1 開始運算，而b1也就對應著 指數n 二進位制形式下的第1位（最左一位）。執行完這次乘法後，對n執行一次 左移 >> 運算，使得 b1 被捨棄掉，b2來到第1位，而此時x^2^m-1*bm 中的2^m-1 部分（在這裡，我們將這部分稱之為 k ）也要隨著乘法乘一次2，從而由x^1*b1中的 k=1（2^0) 變為 k=2（2^1），這使得我們在進行第二次乘法時，乘數就變成了：

　　x^k*b2 =x^2*b2

　　重複這個過程，直到 n==0 ， 這意味著我們已經完成了整個運算過程，現在的計算結果就是乘方的結果。　　

3. 實現

　　每次乘法中，首先要判斷 當前位的 bm 是1還是0，我們通過 n&1 計算來進行判斷，只有當第一位為 1 的時候，n&1 的計算結果才是1。我們用 res 記錄每次乘法的結果，當 bm=0 的時候，本輪乘法中 res只需要乘 1 即可（可省略），否則就要乘上x^2^m-1*bm。但無論bm是不是0，作為x^2^m-1*bm 中2^m-1 的部分，x都要進行一次自乘。然後我們將 n 右移一位。重複這個過程，而跳出迴圈的條件就是 n==0。

　　實現可以參考下面給出的程式碼（Java）：

 1 class Solution {
 2     public double myPow(double x, int n) {
 3         if( n==0 || x==1.0){ return 1.0; }
 4         // 指數為負時的處理
 5         // 為了應對 Integer.MIN_VALUE 的情況，所以將指數加1，避免越界
 6         if(n<0){ return 1/(x*myPow(x,(n+1)*-1)); }
 7         double res=1;
 8         // 快速冪加速乘法，可以指數降低乘法次數
 9         while(n>0){
10             if((n&1)==1){
11                 res*=x;
12             }
13             x*=x;
14             n>>=1;
15         }
16         return res;
17     }
18 }