洛谷P2791 幼兒園籃球題
阿新 • • 發佈:2020-12-28
列舉進球個數,得:
\[\large\begin{aligned} &\sum_{i=0}^k \binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i} i^l\\ =&\sum_{i=0}^k \binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i} \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} \begin{Bmatrix} l \\j \end{Bmatrix} j!\\ =&\sum_{j=0}^{k}j!\begin{Bmatrix} l \\j \end{Bmatrix} \sum_{i=j}^k \binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i} \binom{i}{j} \\ =&\sum_{j=0}^{k}j!\begin{Bmatrix} l \\j \end{Bmatrix} \binom{m}{j}\sum_{i=j}^k \binom{m-j}{i-j} \binom{n-m}{k-i} \\ =&\sum_{j=0}^{k}j!\begin{Bmatrix} l \\j \end{Bmatrix} \binom{m}{j}\sum_{i=0}^{k-j} \binom{m-j}{i} \binom{n-m}{k-i-j} \\ =&\sum_{j=0}^{k}j!\begin{Bmatrix} l \\j \end{Bmatrix} \binom{m}{j}\binom{n-j}{k-j} \\ \end{aligned} \]預處理斯特林數後即可計算。
#include<bits/stdc++.h> #define maxn 800010 #define maxm 20000010 #define P 998244353 #define G 3 using namespace std; typedef long long ll; template<typename T> inline void read(T &x) { x=0;char c=getchar();bool flag=false; while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();} while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();} if(flag)x=-x; } int n,m,k,q,l,t,ans; int rev[maxn],f[maxn],g[maxn],fac[maxm],ifac[maxm]; ll qp(ll x,ll y) { ll v=1; while(y) { if(y&1) v=v*x%P; x=x*x%P,y>>=1; } return v; } void NTT(int *a,int lim,int type) { for(int i=0;i<lim;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); for(int len=1;len<lim;len<<=1) { int wn=qp(G,(P-1)/(len<<1)); for(int i=0;i<lim;i+=len<<1) { int w=1; for(int j=i;j<i+len;++j,w=(ll)w*wn%P) { int x=a[j],y=(ll)w*a[j+len]%P; a[j]=(x+y)%P,a[j+len]=(x-y+P)%P; } } } if(type==1) return; int inv=qp(lim,P-2); for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=(ll)a[i]*inv%P; reverse(a+1,a+lim); } void init() { n=max(l,n),fac[0]=ifac[0]=1; for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%P; ifac[n]=qp(fac[n],P-2); for(int i=n-1;i;--i) ifac[i]=(ll)ifac[i+1]*(i+1)%P; for(int i=0;i<=l;++i) f[i]=ifac[i]; for(int i=0;i<=l;++i) g[i]=(ll)f[i]*qp(i,l)%P,f[i]=((i&1)?P-f[i]:f[i]); int lim=1; while(lim<=((l+1)<<1)) lim<<=1; for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?lim>>1:0); NTT(f,lim,1),NTT(g,lim,1); for(int i=0;i<lim;++i) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%P; NTT(f,lim,-1); } int main() { read(n),read(m),read(q),read(l),init(); while(q--) { read(n),read(m),read(k),ans=0,t=min(min(l,k),min(n,m)); for(int i=0;i<=t;++i) ans=(ans+(ll)f[i]*ifac[m-i]%P*fac[n-i]%P*ifac[k-i]%P)%P; printf("%lld\n",(ll)ans*fac[m]%P*fac[k]%P*ifac[n]%P); } return 0; }