釋放囚犯

題目描述

\(Caima\) 王國中有一個奇怪的監獄，這個監獄一共有\(P\)個牢房，這些牢房一字排開，第\(i\)個緊挨著第\(i+1\)個（最後一個除外）。現在正好牢房是滿的。
上級下發了一個釋放名單，要求每天釋放名單上的一個人。這可把看守們嚇得不輕，因為看守們知道，現在牢房中的\(P\)個人，可以相互之間傳話。如果某個人離開了，那麼原來和這個人能說上話的人，都會很氣憤，導致他們那天會一直大吼大叫，搞得看守很頭疼。如果給這些要發火的人吃上肉，他們就會安靜點。

輸入格式和輸出格式

輸入格式

第一行兩個數\(P\)和\(Q\)，\(Q\)表示釋放名單上的人數；
第二行\(Q\)個數，表示要釋放哪些人。

資料規模
對於\(100%\)的資料\(1≤P≤1000\)； \(1≤Q≤100\)；\(Q≤P\)；且\(50%\)的資料 \(1≤P≤100\)；\(1≤Q≤5\)

輸出格式

僅一行，表示最少要給多少人次送肉吃。

輸入和輸出樣例

輸入#1

20 3
3 6 14

輸出#1

35

本題思路

這道題看起來和一般的區間dp有很多出入，不是從小到大，而是從大到小，看起來要是分成不同的子問題，每個子問題還是會互相干擾的，不妨模擬一遍過程可以發現，好像和石子合併（不要問我什麼是石子合併）的過程剛好相反，說白了就是石子合併的逆過程，如果一個大區間中挑選一個切點，那麼就分成了兩個互不相干的子問題（因為只與切點有關，先選擇了切點之後分成的兩個區間就毫無關聯），再想，把分成的兩個小區間再次選切點，就又分成了兩個互不相干的兩個更小的子問題，依次類推，可以發現這和石子合併沒有任何區別，因此，這道題的大致思路沒問題了，我們可以推出轉移方程：\(f[i][j]=min{f[i][j],f[i][k-1]+f[k+1][j]+a[j+1]-a[i-1]-1-1}\)

程式碼實現

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e3+50;
int P, Q, a[maxn], dp[maxn][maxn];
inline int read(){
	char ch = getchar();
	int f = 1, x = 0;
	while(!isdigit(ch)){if(ch == '-') f = -1;ch = getchar();}
	while(isdigit(ch)){x = x*10;x += ch - '0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int main(){
	P = read(),Q = read();
	for(int i = 1; i <= Q; i++){
		a[i] = read();
	}
	sort(a+1, a+Q+1);
	a[0] = 0;
	a[Q+1] = P+1;
	for(int len = 1; len <= Q; len++){
		for(int l = 1; l + len - 1 <= Q; l++){
			int r = l + len - 1;
			dp[l][r] = 0x3f3f3f3f;
			for(int j = l; j <= r; j++){
				dp[l][r] = min(dp[l][r], dp[l][j-1] + dp[j+1][r] + a[r+1] - a[l-1] - 2);
			}
		}
	}
	printf("%d",dp[1][Q]);
	return 0;
}