技術標籤：動態規劃演算法動態規劃

問題來源：leetcode 72。

編輯距離

給你兩個單詞 word1 和 word2，請你計算出將 word1 轉換成 word2 所使用的最少運算元。

你可以對一個單詞進行如下三種操作：

• 插入一個字元
• 刪除一個字元
• 替換一個字元

示例 1：

輸入：word1 = "horse", word2 = "ros"
輸出：3
解釋：
horse -> rorse (將 'h' 替換為 'r')
rorse -> rose (刪除 'r')
rose -> ros (刪除 'e')

示例 2：

輸入：word1 = "intention", word2 = "execution"
輸出：5
解釋：
intention -> inention (刪除 't')
inention -> enention (將 'i' 替換為 'e')
enention -> exention (將 'n' 替換為 'x')
exention -> exection (將 'n' 替換為 'c')
exection -> execution (插入 'u')
 

動態規劃

分析過程與最長公共子序列非常像。

設字串 X n = < x 1 , . . . , x n > X_n=<x_1,...,x_n> Xn​=<x1​,...,xn​> 與 Y m = < y 1 , . . . , n m > Y_m=<y_1,...,n_m> Ym​=<y1​,...,nm​> 的編輯距離為 E D ( X n , Y m ) ED(X_n,Y_m) ED(Xn​,Ym​)。

優化子結構：

• 如果 < x n = y m > <x_n=y_m> <xn​
  =ym​>，那麼 E D ( X n , Y m ) ED(X_n,Y_m) ED(Xn​,Ym​) 是子問題 X n − 1 X_{n-1} Xn−1​ 與 Y m − 1 Y_{m-1} Ym−1​ 的編輯距離，即 E D ( X n , Y m ) = E D ( X n − 1 , Y m − 1 ) ED(X_n,Y_m)=ED(X_{n-1},Y_{m-1}) ED(Xn​,Ym​)=ED(Xn−1​,Ym−1​)，也就是說需要求解子問題 E D ( X n − 1 , Y m − 1 ) ED(X_{n-1},Y_{m-1}) ED(Xn−1​,Ym−1​)；
• 如果 < x n ≠ y m > <x_n \neq y_m>
  <xn​​=ym​>，那麼：
  1. 可以將 x n x_n xn​ 替換成 y m y_m ym​，然後將 X n − 1 X_{n-1} Xn−1​ 轉換成 Y m − 1 Y_{m-1} Ym−1​，即需要求解子問題 E D ( X n − 1 , Y m − 1 ) ED(X_{n-1},Y_{m-1}) ED(Xn−1​,Ym−1​)。
  2. 可以將 x n x_n xn​ 刪除，然後將 X n − 1 X_{n-1} Xn−1​ 轉換成 Y m Y_m Ym​，即需要求解子問題 E D ( X n − 1 , Y m ) ED(X_{n-1},Y_m) ED(Xn−1​,Ym​)。
  3. 可以在 X n X_n Xn​ 末尾新增 y m y_m ym​，然後將 X n X_n Xn​ 轉換成 Y m − 1 Y_{m-1} Ym−1​，即需要求解子問題 E D ( X n , Y m − 1 ) ED(X_n,Y_{m-1}) ED(Xn​,Ym−1​)。

上面分析結果表明，無論何種情況，原問題的最優解均可以由某些子問題的解構造得到，即編輯距離具有優化子結構。

重疊子問題：計算 E D ( X n , Y m ) ED(X_n,Y_m) ED(Xn​,Ym​) 時需要計算 E D ( X n − 1 , Y m − 1 ) ED(X_{n-1},Y_{m-1}) ED(Xn−1​,Ym−1​)、 E D ( X n − 1 , Y m ) ED(X_{n-1},Y_m) ED(Xn−1​,Ym​) 以及 E D ( X n , Y m − 1 ) ED(X_{n},Y_{m-1}) ED(Xn​,Ym−1​)，而計算 E D ( X n − 1 , Y m ) ED(X_{n-1},Y_m) ED(Xn−1​,Ym​) 和 E D ( X n , Y m − 1 ) ED(X_{n},Y_{m-1}) ED(Xn​,Ym−1​) 時都需要計算 E D ( X n − 1 , Y m − 1 ) ED(X_{n-1},Y_{m-1}) ED(Xn−1​,Ym−1​)，因此具有重疊子問題。

遞迴地定義最優解的值：設 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示字串 X i = < x 1 , . . . , x i > X_i=<x_1,...,x_i> Xi​=<x1​,...,xi​> 和 Y j = < y 1 , . . . , y j > Y_j=<y_1,...,y_j> Yj​=<y1​,...,yj​> 的編輯距離：

d p [ i ] [ j ] = { i i f j = 0 j i f i = 0 d p [ i ] [ j ] i f x i = y j 1 + m i n { d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] , d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] } i f x i ≠ y j dp[i][j]=\left\{\begin{array}{cc} i & if\ j=0 \\ j & if\ i=0 \\ dp[i][j] & if\ x_i=y_j \\ 1+min\{dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]\} & if\ x_i \neq y_j \end{array}\right. dp[i][j]=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​ijdp[i][j]1+min{dp[i−1][j],dp[i][j−1],dp[i−1][j−1]}​ifj=0ifi=0ifxi​=yj​ifxi​​=yj​​

自底向上地計算最優解的值：首先填充邊界值，然後採用逐行計算、逐列計算 d p dp dp 陣列的值，可以保證在計算每一個 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 時，相關的子問題結果均已經被計算過且儲存在了表格中。

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int n = word1.size(), m = word2.size();
        if(n == 0 || m == 0) {
            return max(n, m);
        }
        vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(m+1));
        for(int i=0; i<=n; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for(int j=0; j<=m; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            for(int j=1; j<=m; j++) {
                if(word1[i-1] == word2[j-1]) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), dp[i-1][j-1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};