單個正態總體均值的區間估計_重溫統計學--引數估計
技術標籤：單個正態總體均值的區間估計
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前幾期說到統計學最大的作用是得樣本而知總體，利用樣本準確地預測總體，並以一定的方式說明預測結果的可靠程度。在統計學中，這預測的過程稱為引數估計，通過置信水平來說明預測結果的可靠程度。
那麼為什麼可以用樣本估計總體呢？在引數估計的過程中又要注意什麼呢？首先樣本來自總體，抽樣要儘量保證無偏抽樣，無偏樣本的分佈形狀與總體樣本相似（即估計量抽樣分佈的數學期望等於總體引數）。另外大數法則告訴我們，樣本量越大，樣本的統計量越接近總體的真值，最為極端的情況就是樣本量等於總體量，樣本的統計量還能不等於總體的引數嗎？
引數估計的方法主要有兩種，分別是點估計和區間估計
點估計就是用樣本統計量的某個取值直接作為總體引數的估計值，那麼從總體中多次抽樣，每個樣本都有一個點估計量，那我們怎麼知道哪個點估計量更接近總體的真值呢？
於是就出現了區間估計。區間估計是點估計的基礎上，給出總體引數估計的一個區間範圍，該區間通常由樣本統計量加減估計誤差得到。
這個區間範圍也稱為置信區間，那麼這個區間範圍多大比較合理呢？一般我們會通過置信水平，即置信區間中包含總體引數真值的次數所佔的比例來衡量。比如，最為常用的95%置信水平，可以解釋為由100個樣本構造的總體引數的100個置信區間中，有95%的區間包含總體引數真值。
知道了這些基礎的概念之後，又該如何通過樣本對總體進行引數估計呢？
1、點估計
常用的統計量包括有均值、方差、變異係數、偏度和峰度等。根據已知情況，樣本均值是我們能為總體均值做出的最好的估計，樣本均值被稱為總體均值的點估計量。同理，樣本方差也被稱為總體方差的點估計量。
1.1 點估計的步驟：
(1)找出特定樣本大小相同的所有樣本
(2)觀察所有樣本統計量形成的分佈，然後求出統計量的期望和方差
(3)得到分佈後，利用分佈求出概率
1.2 樣本均值的抽樣分佈：
如果考慮同一個總體中所有大小為n的可能樣本，然後用這些樣本的均值形成分佈，則該分佈為均值的抽樣分佈，我們用
- 如果總體服從正態分佈
，則樣本均值隨機變數也服從 正態分佈，
；
- 如果總體不服從正態分佈，但n>30，根據中心極限定理，則樣本均值隨機變數的分佈近似正態分佈;
- 如果總體不服從正態分佈且n<30，則樣本均值隨機變數的分佈根據總體分佈的不同而不同，比如總體服從二項分佈，樣本均值也服從二項分佈。
1.3 樣本比例的抽樣分佈：
從同一個總體中取得的所有大小為n的可能樣本，由這些樣本的比例形成一個分佈，這就是比例的抽樣分佈，用
- 如果n>30,根據中心極限定理，則樣本比例符合正態分佈，即
,因為是離散資料，使用這個公式時 需要連續性修正：
，具體見重溫統計學--概率與概率分佈
點估計量是我們有可能給出的總體統計量的最佳估計，但是依然無法100%地代表總體，原因很簡單，因為我們用的是樣本，而不是總體本身，所以我們無法判斷哪個估計量最好，這時候就需要區間估計。
2、區間估計
2.1 區間估計四步驟：
（1）選擇總體統計量（均值、方差、比例）
（2）求出其抽樣分佈
（3）決定置信水平（5%、1%）
（4）求出置信上下限（Z分佈、t分佈）
因為區間估計是在點估計的基礎上加減估計誤差得到，因此前兩步的做法一樣，然後選擇置信水平，置信水平一般會選擇5%，更嚴格些會選擇1%。區間估計一般表示為:
因此，在區間估計中誤差範圍就是係數統計量的標準差，因此我們可以根據可接受的誤差範圍來確定抽樣的數量。設可接受的誤差範圍為E，那麼
2.2 一個總體的均值區間估計：
- 如果總體服從正態分佈且總體方差已知，則置信區間為
- 如果總體不服從正態分佈，但n>30且總體方差已知，則置信區間為
- 不管總體是否服從正態分佈，如果總體方差未知，樣本方差已知且n>30，則置信區間為
- 總體服從正態分佈，如果總體方差未知，樣本方差已知且n<30，則置信區間為
2.3 一個總體的比例區間估計：
- 如果總體服從二項分佈且n>30，則置信區間為
2.4 兩個總體的均值之差的區間估計：
如果兩個樣本是從總體中獨立抽取的，即一個樣本中的元素與另一個樣本中的元素相互獨立，那麼兩個樣本均值之差的期望為兩個總體均值之差，方差的期望為兩個總體方差之和，具體見重溫統計學--概率與概率分佈。
樣本均值之差的期望：
樣本均值之差的方差：
- 如果總體服從正態分佈且總體方差已知，則置信區間為
- 如果總體不服從正態分佈，但n>30且總體方差已知，則置信區間為
- 不管總體是否服從正態分佈，如果總體方差未知，樣本方差已知且n>30，則置信區間為
- 總體服從正態分佈，如果總體方差未知，樣本方差已知且n<30，則置信區間為
2.5 兩個總體的比例之差的區間估計：
- 如果總體服從二項分佈且n>30，則置信區間為
c為Z分佈係數，t(v)為t分佈係數，常用的置信水平相對應的c值為：
- 90%置信水平，c=1.64
- 95%置信水平，c=1.96
- 99%置信水平，c=2.58
3、 實踐部分：
某企業生產的袋裝食品採用自動打包機包裝，每袋標準重量為100克，現從某天生產的一批產品中按重複抽樣隨機抽取50包進行檢查，測得每包重量如下：
- 96~98g：2包
- 98~100g：3包
- 100~102g：34包
- 102~104g：7包
- 104~106g：4包
已知食品每包的重量服從正態分佈，
（1）求確定該種食品平均重量的95%的置信區間。
（2）如果規定食品重量低於100g屬於不合格，確定該批食品合格率的95%的置信區間。
答：
- 推理步驟：
（1）因為總體服從正態分佈，總體方差未知且樣本數量大於30，因此樣本均值也服從正態分佈，
其中樣本均值：
樣本方差：
樣本均值的期望：
樣本均值的方差：
因此，樣本均值服從N(101.32,0.053)的正態分佈，轉為化標準正態分佈：
現在需要求樣本均值的95%的置信區間，查表可知95%的置信區間
最終求得樣本均值的95%的置信區間為（100.87，101.77）。
- 公式法： 因為總體服從正態分佈，總體方差未知且樣本數量大於30，因此置信區間為
，代入，得到樣本均值的95%的置信區間為（100.87，101.77）。
- python實現：
import pandas as pd
import numpy as np
x1 = [97]*2
x2 = [99]*3
x3 = [101]*34
x4 = [103]*7
x5 = [105]*4
data = x1+x2+x3+x4+x5
#定義一個函式進行區間估計
def get_result(data=data,c=None,t=None,sigma = None,num = 'n'):
"""data:資料
c:Z分佈係數
t:t分佈係數
sigma:總體方差
num:樣本量
"""
data_mean = np.mean(data)
data_std = np.std(data)
if sigma == None and num>=30:
print(data_mean-c*data_std/np.sqrt(num),data_mean+c*data_std/np.sqrt(num))
elif sigma == None and num<30:
print(data_mean-t*data_std/np.sqrt(num),data_mean+t*data_std/np.sqrt(num))
elif sigma != None and num>= 30:
print(data_mean-c*sigma/np.sqrt(num),data_mean+c*sigma/np.sqrt(num))
else:
print(data_mean-t*sigma/np.sqrt(num),data_mean+t*sigma/np.sqrt(num))
get_result(data,c = 1.96,num = 50)
100.87154103509909 101.7684589649009（2）低於100g屬於不合格，因此不合格率為10%，合格率為90%，這是一個屬於總體比例區間估計的問題，因此根據公式
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