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題目描述

給定正整數 n, x, y，你要生成一個長度為 n 的字串，有兩種操作：

添一字元或刪去一個原有字元，代價為 x；
將已有字串複製貼上一次（翻倍），代價為 y。
求最小代價。

分析

一個很簡單的狀態轉移方程
f[i] = min(f[i - 1] + x,f[i + 1] + y);
但是很顯然這樣處理這個問題就有了環，不能去線性dp
然後我們需要思考什麼時候需要去進行刪除操作
很顯然，只有當我們的字串過長，需要去刪減一部分然後去採取翻倍操作的時候才需要進行刪減操作，所以我們可以寫出另一個狀態轉移方程

f[i] = min(f[i - 1] + x,f[k] + y + (k * 2 - i) * x);

然後就會發現，這其實是一個單調佇列優化的線性dp問題

程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#pragma GCC optimize("Ofast","unroll-loops","omit-frame-pointer","inline")
 

#pragma GCC option("arch=native","tune=native","no-zero-upper")
#pragma GCC target("avx2")
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e7 + 10;
ll f[N],q[
 
N];
ll n,x,y;

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&x,&y);
    int hh = 1,tt = 0;
    for(ll i = 1;i <= n;i++){
        while(hh <= tt && hh * 2 < i) ++hh;
        f[i] = f[i - 1] + x;
        if(hh <= tt) f[i] = min(f[i],f[q[hh]] + y + (q[hh] * 2 - i) * x);
        while(hh <= tt && f[q[tt]] + q[ tt ] * 2ll * x >= f[i] + i * 2ll * x) tt--;
        q[++tt] = i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
}

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