P5488-差分與字首和【NTT,生成函式】
正題
題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P5488
題目大意
求一個長度為 n n n的序列的 k k k階差分/字首和。
解題思路
先考慮字首和怎麼做
搞出來生成函式就是
(
∑
i
=
0
n
a
i
x
i
)
∗
(
∑
i
=
0
∞
x
i
)
k
(\sum_{i=0}^na_ix^i)*(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k
(i=0∑naixi)∗(i=0∑∞xi)k
然後根據常識我們知道
(
∑
i
=
0
∞
x
i
)
k
=
∑
i
=
0
∞
(
i
+
k
−
1
i
)
x
i
(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+k-1}{i}x^i
之後式子 ( ∑ i = 0 n a i x i ) ∗ ( ∑ i = 0 ∞ ( i + k − 1 i ) x i ) (\sum_{i=0}^na_ix^i)*(\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+k-1}{i}x^i) (i=0∑naixi)∗(i=0∑∞(ii+k−1)xi)
直接卷就好了
然後是差分，就是
∑
i
=
0
n
a
i
x
i
(
∑
i
=
0
∞
x
i
)
k
\frac{\sum_{i=0}^na_ix^i}{(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k}
直接上多項式除法就好 。考慮怎麼轉換這個式子，我們需要用生成函式的方法了，上等比數列公式就有
(
∑
i
=
0
∞
x
i
)
k
=
1
(
1
−
x
)
k
(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^k=\frac{1}{(1-x)^k}
(∑i=0∞xi)k=(1−x)k1
那麼它的倒數就是 ( 1 − x ) k (1-x)^k (1−x)k，上二項式定理就有 ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k i ) x i \sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}x^i ∑i=0k(−1)i(ik)xi
然後也是兩個式子捲起來就好了。
然後 k k k可以直接模 p p p，考慮 f ( k ) = ( ∑ i = 0 ∞ x i ) k f(k)=(\sum_{i=0}^\infty x^i)^k f(k)=(∑i=0∞xi)k那麼有 f ( k n ) = f ( k ) n f(k^n)=f(k)^n f(kn)=f(k)n所以直接讓 k k k模 p p p即可
時間複雜度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)
c o d e code code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=(1e5)*6,P=1004535809,g=3;
struct poly{
ll a[N],n;
}G,F;
ll n,k,t,inv[N],r[N];
char s[N];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void NTT(ll *f,ll op,ll n){
for(ll i=0;i<n;i++)
if(r[i]<i)swap(f[i],f[r[i]]);
for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
ll len=(p>>1);
ll tmp=power(g,(P-1)/p);
if(op)tmp=power(tmp,P-2);
for(ll k=0;k<n;k+=p){
ll buf=1;
for(ll i=k;i<k+len;i++){
ll tt=buf*f[i+len]%P;
f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
f[i]=(f[i]+tt)%P;
buf=buf*tmp%P;
}
}
}
if(op){
int invn=power(n,P-2);
for(int i=0;i<n;i++)
f[i]=f[i]*invn%P;
}
return;
}
void mul(poly &a,poly &b){
ll n=1;
while(n<=a.n+b.n)n<<=1;
for(ll i=0;i<n;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)^((i&1)?(n>>1):0);
NTT(a.a,0,n);NTT(b.a,0,n);
for(ll i=0;i<n;i++)
a.a[i]=a.a[i]*b.a[i]%P;
NTT(a.a,1,n);
return;
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
scanf("%s",s);ll l=strlen(s);
scanf("%lld",&t);
for(ll i=0;i<l;i++)
k=(k*10+s[i]-'0')%P;
inv[1]=1;
for(ll i=2;i<=n;i++)
inv[i]=(P-(P/i)*inv[P%i]%P)%P;
for(ll i=0;i<n;i++)
scanf("%lld",&F.a[i]);
G.a[0]=1;
for(ll i=1;i<=n;i++){
if(!t)G.a[i]=G.a[i-1]*(i+k-1)%P*inv[i]%P;
else{
if(i>k)break;
G.a[i]=(-1)*G.a[i-1]*(k-i+1)%P*inv[i]%P;
G.a[i]=(G.a[i]+P)%P;
}
}
G.n=F.n=n;
mul(G,F);
for(ll i=0;i<n;i++)
printf("%lld ",G.a[i]);
return 0;
}