技術標籤：ACM演算法

素數篩法

一般篩法：

一般篩法適用於單個元素的檢驗，就是簡單地對於一個元素 n 從2至 sqrt(n)進行檢驗能否整除，有一個就不是素數。

程式碼如下：

//原始篩選法->適用於單個元素的檢驗
bool isprime_A(int n)
{
    for(int i = 2;i < sqrt(n);i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

埃氏篩法

埃氏篩法利用了一個素數的倍數一定不是素數、任何一個合數可以表示成一個素數和另一個數乘積的性質。

對於一定的範圍，先假定它們都是質數，然後從2（顯然是素數）開始，先判斷如果是素數，把它在範圍內的倍數乘積都篩去（是合數），以此類推迴圈至 sqrt(n) 即可。

程式碼如下：

//埃拉託斯特尼(Eratosthenes)篩法->適用於一定範圍的元素的篩選
bool is_prime[1000];//布林陣列來標記是否為素數
int prime[1000] = {0};    //存放素數
int q = 0;

void isprime_B(int b) //要篩選素數的區間右端點
{
    memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));//先假設都為素數
    for(int i =
 
 2;i <= sqrt(b);i++)
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[q++] = i;
            for(int j = i*2;j <= b;j += i)//素數的倍數一定不是素數
            {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }

}

尤拉篩法

感覺尤拉篩法和埃氏篩法的原理類似…但是尤拉篩法更減少了沒有必要的計算，就是增加了處理：每一個被篩掉的數都必須是被它的最小質因子篩掉，為了保證這一點，增添了如下程式碼：

if(i % prime2[k] == 0)//確保是最小質因數
{
    break;
}

為什麼這樣檢驗，想象一下，首先篩選的前提是：

也就是因子是按照遍歷的順序，是從小到大的素數。即：

而如果不break繼續篩選的話在篩選到滿足如下性質(即上述條件)的合數後：

會繼續篩選到一個更大的質數：

也滿足篩去：

但是它也可以表示為：

但是顯然prime[j]為它的最小素數，如果它被篩去那麼它是被prime[j+x]篩去的，而這並不是它的最小質數。

所以這個條件的限制是這麼個原因大概。

程式碼如下：

//尤拉篩法->適用於一定範圍的元素的篩選，時間複雜度O(n)
bool is_prime_Euler[1000];
int prime2[1000] = {0};

void isprime_C(int b)
{
    int k = 0,j = 0;

    memset(is_prime_Euler,true,sizeof(is_prime_Euler));
    for(int i = 2;i <= b;i++)
    {
        if(is_prime_Euler[i])
        {
            prime2[j++] = i;
        }
        //接下來進行篩的操作
        while(1)
        {
            if(i*prime2[k] > b)
            {
                break;
            }
            is_prime_Euler[i*prime2[k]] = false;//最小質因數的倍數一定不是素數
            if(i % prime2[k] == 0)//確保是最小質因數
            {
                break;
            }
            k++;
        }
        k = 0;
    }
}

可能在數理層面理解的還不夠深刻…希望大家能多指點。