P5860 「SWTR-03」Counting Trees
supercalifragilisticexpialidocious
好詞,記住了。 瞬間忘掉
首先得是一顆樹,那麼 度數和=2*邊數=2*點數-2
所以 \(\sum 2-v_i=2\)
一個點權為 \(v\) 的點的生成函式設為 \(1+x^{2-v_i}\) ,都捲起來求 \([x^2]\) 就好了???
事實並不那麼美好。。。\(v_i>2\) 的時候係數加哪裡去啊?
忽然想到一個叫做“分式域”的東西,之前在command_block的blog裡翻到過的,這個負指數感覺有點關係,趕緊去翻了翻。
好像也沒啥特殊的,照常運算即可,只不過把多項式偏移一下計算。
為了方便把上面的指數全部取負號,因為這樣不用考慮太多負指數。
也就是我們要求
\[[x^{-2}]\prod 1+x^{v_i-2} \]注意到指數為負數當且僅當 \(v_i=1\) ,那暴力分討吧。
- 對於所有 \(v_i>1\) ,取 \(\ln\) 再 \(\exp\)
都第 3 次了我也算是學會了
(這裡順著做題思路寫,所以是 \(v_i>1\) ,後面有補充)
考慮 \(\ln(1-x) =-\sum\limits_{i=1}\dfrac{x^i}{i}\) 這個式子,往裡面套得到
\[\ln(1+x^v)=-\sum_{i=1}\dfrac{(-x^v)^i}{i} \]統計一下每一種 \(v\) 的個數強行加就是 \(O(n\ln n)\)
設這個東西 \(\exp\) 回去是 \(F(x)\)
-
忽然發現 \(v_i=2(v=0)\) 也得判,因為這玩意會無限加下去。設有 \(cnt_2\) 個 \(v_i=2\) ,答案最後乘上 \(2^{cnt_2}\) 即可
-
最不習慣的 \(-1\) 次冪。
統計 \(v_i=1\) 的個數設為 \(cnt_1\)
忽然發現 \(ans=\sum_\limits{i=2}^{cnt_1}\dbinom{cnt_1}{i}F[i-2]\) ,直接撒花!
因為 \(F(x)\) 只會卷出 \(\ge 0\) 的指數,所以 \(i\)
事實上,如果條件沒有這麼特殊,不能用組合方法,可以暴力卷,下標什麼的推一推就能求出 \([x^{-n}]\) 了(口胡ing)
手殘把除 \(i\) 寫成除 \(i!\) 調了一年
/*
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| | | | ----- \ / ----- | | | | | |---- | | | |
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\ / \ / | \ |
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\-/ \-/ | | ------
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| | | / |
| | | / |
| | |----/ ------
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define pb(x) push_back(x)
#define sz(v) (int)v.size()
typedef long long LL;
typedef double db;
template<class T>bool ckmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
template<class T>bool ckmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
#define rep(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i<=i##end;++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i>=i##end;--i)
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f?x:-x;
}
const int N=500005;
const int M=N<<2;
#define mod 998244353
int n,f[M],g[M],ans,cnt[N];
namespace math{
int fac[N],ifc[N],inv[N];
inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;}
inline void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
inline int comb(int n,int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*ifc[m]%mod*ifc[n-m]%mod;}
void initmath(const int&n=N-5){
fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
ifc[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ifc[i]=1ll*(i+1)*ifc[i+1]%mod;
inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}
}
using math::qpow;
using math::fmod;
namespace poly{
int rev[M],lg,lim;
void init_poly(const int&n){
for(lg=0,lim=1;lim<n;lim<<=1,++lg);
for(int i=0;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
}
void NTT(int*a,int op){
for(int i=0;i<lim;++i)
if(i>rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
const int g=op?3:math::inv[3];
for(int i=1;i<lim;i<<=1){
const int wn=qpow(g,(mod-1)/(i<<1));
for(int j=0;j<lim;j+=i<<1){
int w0=1;
for(int k=0;k<i;++k,w0=1ll*w0*wn%mod){
const int X=a[j+k],Y=1ll*w0*a[i+j+k]%mod;
fmod(a[j+k]=X+Y),fmod(a[i+j+k]=X-Y+mod);
}
}
}
if(op)return;const int ilim=qpow(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=1ll*ilim*a[i]%mod;
}
#define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n))
#define cpy(a,b,n) memcpy(a,b,sizeof(int)*(n))
void poly_mul(int*f,int*g,int*ans,int n,int m){
static int A[M],B[M];init_poly(n+m);
cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),NTT(A,1);
cpy(B,g,m),clr(B+m,lim-n),NTT(B,1);
for(int i=0;i<lim;++i)ans[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
NTT(ans,0);
}
void poly_inv(int*g,int*f,int n){
static int A[M];
if(n==1)return g[0]=qpow(f[0],mod-2),void();
poly_inv(g,f,(n+1)>>1),init_poly(n<<1);
cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),clr(g+n,lim-n);
NTT(A,1),NTT(g,1);
for(int i=0;i<lim;++i)g[i]=1ll*g[i]*(2-1ll*A[i]*g[i]%mod+mod)%mod;
NTT(g,0),clr(g+n,lim-n);
}
void dao(int*g,int*f,int n){
for(int i=0;i<n-1;++i)g[i]=1ll*(i+1)*f[i+1]%mod;g[n-1]=0;
}
void jif(int*g,int*f,int n){
for(int i=1;i<=n;++i)g[i]=1ll*f[i-1]*math::inv[i]%mod;g[0]=0;
}
void poly_ln(int*g,int*f,int n){
static int A[M],B[M];
clr(A,n),poly_inv(A,f,n),dao(B,f,n),poly_mul(A,B,A,n,n),jif(g,A,n);
}
void poly_exp(int*g,int*f,int n){
static int A[M];
if(n==1)return g[0]=1,void();
poly_exp(g,f,(n+1)>>1);
clr(A,n),poly_ln(A,g,n);
for(int i=1;i<n;++i)fmod(A[i]=f[i]+mod-A[i]);A[0]=1;
poly_mul(A,g,g,n,n),clr(g+n,lim-n);
}
}
signed main(){
math::initmath(),n=read();
rep(i,1,n)++cnt[read()];
for(int i=1;i<cnt[1];++i)
for(int j=1;i*j<cnt[1];++j)fmod(f[i*j]+=1ll*(j&1?cnt[i+2]:mod-cnt[i+2])*math::inv[j]%mod);
poly::poly_exp(g,f,cnt[1]);
for(int i=2;i<=cnt[1];++i)fmod(ans+=1ll*math::comb(cnt[1],i)*g[i-2]%mod);
ans=1ll*ans*qpow(2,cnt[2])%mod,printf("%d\n",ans);
return 0;
}
多虧了碼頭保佑,我暫時最優解(