關於樹套樹的 權值樹狀陣列套vector 實現
阿新 • • 發佈：2021-01-09
Warning:本篇分享只是一個 較複雜方法 的 簡單寫法，不進行系統的講解。
前置知識：
- AcWing 242. 一個簡單的整數問題
- AcWing 244. 謎一樣的牛（樹狀陣列上倍增 解法，藍書裡有講）
- 會寫 權值樹狀陣列。
- 會用
vector水平衡樹。（其實就是insert(),erase()常數小） - 會寫 權值線段樹套下標平衡樹。（藍書也有）
vector 實現的平衡樹
namespace Vtree { void print(vector<int>& v) { for(int i=0;i<(int)v.size();i++) printf("%d ",v[i]); printf("\n"); } void ins(vector<int>& v,int x) { v.insert(lower_bound(v.begin(),v.end(),x),x); } void del(vector<int>& v,int x) { v.erase(lower_bound(v.begin(),v.end(),x)); } int count(vector<int>& v,int l,int r) { // printf("count(%d ,%d) : ",l,r); // print(v); return upper_bound(v.begin(),v.end(),r)-lower_bound(v.begin(),v.end(),l); } }
權值線段樹套下標平衡樹解法：
先咕咕咕了。
...
然後你可能就會想，為什麼不把 權值線段樹 換成 樹狀陣列 ， 把平衡樹換成 vector 呢?
-
首先
vector可以實現平衡樹（本題需要的）所有操作。- 插入
- 刪除
- 查區間元素個數
-
線段樹的 查
rank= 樹狀陣列 字首和. -
線段樹的 線段樹上二分找 kth = 樹狀陣列倍增找 kth.
權值樹狀陣列套vector 解法
可能配一張圖會有助於理解
圖片來自 https://blog.csdn.net/flushhip/article/details/79165701 侵刪。
\(v[i]\) 存的是 \(a[i] \in [i-lowbit(i)+1,i]\)
insert
void insert(int pos,int key)
{
for(;key<=num;key+=lowbit(key))
Vtree::ins(v[key],pos);
}
根據定義，在對應的 vector 里加入相應的數。
erase
void erase(int pos,int key)
{
for(;key<=num;key+=lowbit(key))
Vtree::del(v[key],pos);
}
刪除操作。
Rank
Rank(x,l,r) 是找 下標在 \([l,r]\) 中有多少個數的 \(a[i] \leq x\)
對應在樹狀陣列中就是 以
count(v[i],l,r) 為 i 的值，求一遍字首和即可。
int Rank(int x,int l,int r)
{
int res=0;
for(;x>=1;x-=lowbit(x))
res+=Vtree::count(v[x],l,r);
return res;
}
findkth
findkth(k,l,r) 是找 下標在 \([l,r]\) 中第 k 大的數。
樹狀陣列上倍增即可。
int findkth(int k,int l,int r)
{
static const int lgn=log2(num);
int key=0,sum=0;
for(int i=lgn,y;i>=0;i--) {
y=Vtree::count(v[key+(1<<i)],l,r);
if(sum+y<k && key+(1<<i)<=num) sum+=y,key+=(1<<i);
}
return key+1;
}
這裡有兩點要注意
- 先跳到目標位置的前一個位置，否則可能會多跳目標位置後的空白段。
- 特判越界的情況。
找 前驅後繼 可以用以上兩個操作實現，
於是就寫完了。
namespace Vtree
{
void ins(vector<int>& v,int x) { v.insert(lower_bound(v.begin(),v.end(),x),x); }
void del(vector<int>& v,int x) { v.erase(lower_bound(v.begin(),v.end(),x)); }
int count(vector<int>& v,int l,int r)
{
return upper_bound(v.begin(),v.end(),r)-lower_bound(v.begin(),v.end(),l);
}
}
inline int lowbit(int x) { return x&(-x); }
void insert(int pos,int key)
{
for(;key<=num;key+=lowbit(key))
Vtree::ins(v[key],pos);
}
void erase(int pos,int key)
{
for(;key<=num;key+=lowbit(key))
Vtree::del(v[key],pos);
}
int Rank(int x,int l,int r)
{
int res=0;
for(;x>=1;x-=lowbit(x))
res+=Vtree::count(v[x],l,r);
return res;
}
int findkth(int k,int l,int r)
{
static const int lgn=log2(num);
int key=0,sum=0;
for(int i=lgn,y;i>=0;i--) {
y=Vtree::count(v[key+(1<<i)],l,r);
if(sum+y<k && key+(1<<i)<=num)
sum+=y,key+=(1<<i);
}
return key+1;
}
AcWing 2476. 樹套樹
Code:
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
namespace Vtree
{
void print(vector<int>& v)
{
for(int i=0;i<(int)v.size();i++)
printf("%d ",v[i]);
printf("\n");
}
void ins(vector<int>& v,int x) { v.insert(lower_bound(v.begin(),v.end(),x),x); }
void del(vector<int>& v,int x) { v.erase(lower_bound(v.begin(),v.end(),x)); }
int count(vector<int>& v,int l,int r)
{
// printf("count(%d ,%d) : ",l,r);
// print(v);
return upper_bound(v.begin(),v.end(),r)-lower_bound(v.begin(),v.end(),l);
}
}
const int N=1e5+5;
int num;
vector<int> v[N];
inline int lowbit(int x) { return x&(-x); }
void insert(int pos,int key)
{
for(;key<=num;key+=lowbit(key)) {
// printf("insert in v[%d], pos = %d\n",key,pos);
Vtree::ins(v[key],pos);
}
}
void erase(int pos,int key)
{
for(;key<=num;key+=lowbit(key))
Vtree::del(v[key],pos);
}
int Rank(int x,int l,int r)
{
// printf("Rank val %d in (%d , %d) = ",x,l,r);
int res=0;
for(;x>=1;x-=lowbit(x))
res+=Vtree::count(v[x],l,r);
// printf("%d\n",res);
return res;
}
int findkth(int k,int l,int r)
{
static const int lgn=log2(num);
int key=0,sum=0;
for(int i=lgn,y;i>=0;i--) {
// printf("count in v[%d], (%d ,%d)\n",key+(1<<i),l,r);
y=Vtree::count(v[key+(1<<i)],l,r);
if(sum+y<k && key+(1<<i)<=num) {
sum+=y,key+=(1<<i);
// printf("Accept %d , now key is %d and sum is %d\n",y,key,sum);
}
}
return key+1;
}
vector<int> nums;
inline int getnw(int x)
{
return upper_bound(nums.begin(),nums.end(),x)-nums.begin();
}
struct Query
{
int opt,x,y,z;
}q[N];
int n,m;
int a[N];
int main()
{
// freopen("1.in","r",stdin);
int i;
int opt,x,y,z;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
nums.push_back(a[i]);
}
for(i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%d",&q[i].opt,&q[i].x,&q[i].y);
if(q[i].opt^3) scanf("%d",&q[i].z);
if(q[i].opt^2) {
if(q[i].opt^3) nums.push_back(q[i].z);
else nums.push_back(q[i].y);
}
}
sort(nums.begin(),nums.end());
nums.erase(unique(nums.begin(),nums.end()),nums.end());
num=nums.size()+1;
for(i=1;i<=n;i++)
insert(i,a[i]=getnw(a[i]));
for(i=1;i<=m;i++) {
if(q[i].opt^2) {
if(q[i].opt^3) q[i].z=getnw(q[i].z);
else q[i].y=getnw(q[i].y);
}
}
for(i=1;i<=m;i++) {
opt=q[i].opt; x=q[i].x; y=q[i].y; z=q[i].z;
if(opt==1) printf("%d\n",Rank(z-1,x,y)+1);
else if(opt==2) printf("%d\n",nums[findkth(z,x,y)-1]);
else if(opt==3) erase(x,a[x]),insert(x,a[x]=y);
else if(opt==4) {
int t=Rank(z-1,x,y);
if(t==0) puts("-2147483647");
else printf("%d\n",nums[findkth(t,x,y)-1]);
}
else {
int t=Rank(z,x,y);
if(t==y-x+1) puts("2147483647");
else printf("%d\n",nums[findkth(t+1,x,y)-1]);
}
}
return 0;
}
效能分析：
由於使用了vector當平衡樹，時間複雜度不好分析，
空間複雜度是 \(O(nlogn)\)，
這種解法在洛谷的樹套樹中，是最優解第一面中程式碼最短的。可以說，在分塊遍地開花的世界中獨樹一幟了。
進步性：程式碼短、快，便於除錯。
侷限性：樹狀陣列的空間受限於值域，如果強制線上，並且值域很大的話，就不能用這種方法來維護了。