樹狀陣列套主席樹

（其實是樹狀陣列套動態開點權值線段樹

作用:

即動態主席樹，動態(帶修)查詢區間 \(k\) 小(大)值

做法：

回顧主席樹：簡單來說主席樹在查詢時 是查詢 \(T[r]-T[l-1]\) 區間的值的，建立是 \(T[i+1]\) 在 \(T[i]\) 的基礎上建立的。用於靜態查詢區間 \(k\) 小(大)值。

而帶修主席樹，因為修改，所以在 \(T[i]\) 基礎上建 \(T[i+1]\) 並不合適。

主席樹的思想是減去區間的字首和求差，此時帶修主席樹依舊是考慮維護字首和，然而因為帶修，所以主席樹各版本之間的強關聯性並不適合修改，此時再建立主席樹不再需要對線段樹進行可持久化，只需動態開點建權值線段樹。

考慮用樹狀陣列維護字首和，及對樹狀陣列每個 \(lowbit\) 的點（ \(logn\) 個）建立動態開點權值線段樹，

在修改陣列 \(x\) 位置時，則是對樹狀陣列 \(for( ;x<=n;x+=lowbit(x))\) 上各點的權值線段樹進行修改；

在查詢陣列區間 \([l,r]\) 第 \(k\) 小(大)值時，則是對樹狀陣列 \(for(i=r;i;i-=lowbit(i))\) 以及 \(for(i=l-1;i;i-=lowbit(i))\) 線上段樹當前區間的相應各點上的值差 進行線段樹的二分查詢（詳見模板）。

例題：

luoguP2617

模板題，帶修查詢區間k小值：

給定一個含有 \(n\) 個數的序列 \(a_1,a_2 \dots a_n\)，有 \(m\) 個操作，需要支援兩種操作：

• Q l r k 表示查詢下標在區間 \([l,r]\) 中的第 \(k\) 小的數
• C x y 表示將 \(a_x\) 改為 \(y\)

\(1\le n,m \le 10^5\)， \(1 \le l \le r \le n\) ，\(1 \le k \le r-l+1\) ，\(1\le x \le n\) ，\(0 \le a_i,y \le 10^9\) 。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+9;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2e5+5;
const double ep=1e-6;

void read(int&x)
{
    char c;
    while(!isdigit(c=getchar()));x=c-'0';
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
}

//P2617
int n,cnt;
int h[maxn];
inline int id(int x){
    return lower_bound(h+1,h+1+cnt,x)-h;
}
struct Q{
    int a,b,c;
}q[maxn];
//樹狀陣列套主席樹(其實是套動態開點權值線段樹
//對樹狀陣列每個節點建權值線段樹
struct Tr{
    // <<8 是因為log*log 
    // maxn=2e5是因為權值包括陣列的n個權值 以及q的m個權值 maxn=n+m
    int T[maxn],L[maxn<<8],R[maxn<<8],sum[maxn<<8],tot=0;
    void supdate(int &rt,int l,int r,int x,int v)//線段樹
    {
        if(!rt)rt=++tot;
        sum[rt]+=v;
        if(l==r)return;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid)supdate(L[rt],l,mid,x,v);
        else supdate(R[rt],mid+1,r,x,v);
    }
    void update(int x,int vx,int v)//樹狀陣列 x是陣列位置,vx是權值位置 v是+1 ,-1這樣子
    {
        for(;x<=n;x+=x&-x)supdate(T[x],1,cnt,vx,v);
    }
    //求區間第k小
    int qr[maxn],ql[maxn],cntl,cntr;
    void pre_query(int x,int q[],int&cnt){
        for(cnt=0;x;x-=x&-x)q[++cnt]=T[x];
    }
    //l,r是二分線權值段樹 k是區間第k小的k
    //l和r是權值區間,陣列區間是在樹狀陣列上分的 就是lowbit部分那裡處理判斷陣列區間
    int query(int l,int r,int k)//qury(T[qR],T[qL-1],l,r,k) 提前記錄log個節點T[qR]及T[qL-1]在q[]處
    {
        if(l==r)return l;
        int mid=(l+r)>>1,num=0;
        for(int i=1;i<=cntr;i++)num+=sum[L[qr[i]]];
        for(int i=1;i<=cntl;i++)num-=sum[L[ql[i]]];//其實就是num=L[rt]-L[pre]
        if(num>=k)
        {
            for(int i=1;i<=cntr;i++)qr[i]=L[qr[i]];
            for(int i=1;i<=cntl;i++)ql[i]=L[ql[i]];
            return query(l,mid,k);//相當於 query(L[rt],L[pre],l,mid,k); 因為要記錄樹狀陣列節點 所以得提前記錄
        }else{
            for(int i=1;i<=cntr;i++)qr[i]=R[qr[i]];
            for(int i=1;i<=cntl;i++)ql[i]=R[ql[i]];
            return query(mid+1,r,k-num);//query(R[rt],R[pre],mid+1,r,k-num);
        }
    }
}tr;
int a[maxn];
char op[2];
int main()
{
    int m;
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),h[++cnt]=a[i];
    int l,r,k,x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s",op);
        if(op[0]=='Q'){
            read(l);read(r);read(k);
            q[i]={l,r,k};
        }else{
            read(x);read(y);h[++cnt]=y;
            q[i]={x,y,0};
        }
    }
    sort(h+1,h+1+cnt);
    cnt=unique(h+1,h+1+cnt)-h-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)tr.update(i,id(a[i]),1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(q[i].c){
            l=q[i].a;r=q[i].b;k=q[i].c;
            tr.pre_query(r,tr.qr,tr.cntr);
            tr.pre_query(l-1,tr.ql,tr.cntl);
            printf("%d\n",h[tr.query(1,cnt,k)]);
        }else{
            x=q[i].a;y=q[i].b;
            tr.update(x,id(a[x]),-1);a[x]=y;
            tr.update(x,id(a[x]),1);
        }
    }
}