技術標籤：優秀題集dfs演算法

Problem Description
A ring is compose of n circles as shown in diagram. Put natural number 1, 2, …, n into each circle separately, and the sum of numbers in two adjacent circles should be a prime.

Note: the number of first circle should always be 1.

Input
n (0 < n < 20).

Output

You are to write a program that completes above process.

Print a blank line after each case.

Sample Input
6
8

Sample Output
Case 1:
1 4 3 2 5 6
1 6 5 2 3 4

Case 2:
1 2 3 8 5 6 7 4
1 2 5 8 3 4 7 6
1 4 7 6 5 8 3 2
1 6 7 4 3 8 5 2

一、問題描述：
輸入正整數n（n<20），以1為第一個數，把整數1，2，3，…，n組成一個環，使得相鄰兩個整數的和均為素數。輸出時從整數1開始逆時針排列。同一個環應恰好輸出一次。

輸入、輸出如上所述：
（注意輸出格式，每個Case之間有一行空白）
（還有每一行最後一個數字後是沒有空格的，筆者被坑了兩次，哭了，杭電的OJ評測太嚴格了）

二、問題分析
首先可以生成1~n的全排列，然後逐個判斷是否合法，但排列總數高達19！= 121645100408832000 種，時間複雜度是很高的。
我們可以採用回溯法，利用dfs演算法去求解。在2~n中依次嘗試，用陣列標記哪些數已經使用過，如果沒有被使用且滿足和前一個數的和為素數，就標記已經使用，繼續dfs，直到滿足方案，列印輸出。
由於一個數只用一次，所以兩個數的和最多為2n-1，所以可以先把前40（甚至前37）個數中的素數找出來，組成一個數組，為以後的判斷提供方便。（提示：利用find()函式）。

三、程式碼（附註釋）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int n, ca = 0; //ca用來列印情況 
int a[20], p[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}, vis[20]; //a[]陣列用來存放答案，p[]存放40以內的素數，vis[]陣列用來標記數是否使用過

void dfs(int x)
{
    if (x == n && find(p, p + 12, a[0] + a[n-1]) != p + 12) //遞迴邊界，別忘了第一個數和最後一個數的和也為素數
    {
        for(int i=0;i<n-1;i++)
           cout<<a[i]<<" ";   
        cout<<a[n-1]<<endl;   //被坑的地方，注意格式
    }
    else
        for (int i = 2; i <= n; i++)     //逐個嘗試2~n的每個數
            if (!vis[i] && find(p, p + 12, i+a[x-1]) != p + 12)  //如果沒有被使用過且和a[]中前一個之和為素數
            {
                a[x] = i;    //滿足條件，把i加入a[]陣列
                vis[i] = 1;  //標記已經使用過
                dfs(x + 1);
                vis[i] = 0;  //取消標記
            }
}

int main()
{
    while (cin>>n && n)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a)); //a[]陣列清零
        a[0] = 1;                //第一個數為1
        memset(vis, 0, sizeof(vis)); //vis[]陣列清零

        cout<<"Case "<<++ca<<":"<<endl;  
        dfs(1);   //一定要從1開始dfs(),想想為什麼
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}