技術標籤：MySQL資料結構

一顆m階的B樹，這裡階的意思是指每個節點擁有的子節點個數，會滿足以下幾點：

（1）每個節點最多有m個子節點

（2）除了根節點和葉子節點之外，其它的每個節點最少有m/2（向上取整）個子節點

（3）根節點至少有兩個子節點，（除了第一次插入的時候，此時只有一個節點，根節點同時是葉子節點）

（4）所有的葉子節點都在同一層

（5）有k個子節點的父節點包含k-1個key關鍵字

初次接觸B樹的時候有兩個問題比較疑惑，根節點為什麼最少要有兩個子節點？其它的節點為什麼又是最少有m/2個子節點？直到看到這篇部落格之後茅塞頓開。簡單來講B樹的上述幾個條件就是為了維持樹的平衡。

下面舉個例子來說明一下，所有的圖片都是來自於Data Structure Visualization網站，可以保證圖片的正確性。
我們依次往一顆B樹裡邊插入遞增的數字來觀察樹形狀的變化。
第一個例子，m=3，一顆三階的B樹，依次插入1,2，3。

當3這個key插入的時候，首先試圖插入根節點，但是此時根節點總共有4個子節點(下圖4個指向子節點的childPtr)，不滿足條件1，即子節點數量不能超過3，於是根節點要分裂。

根節點一分為三，分裂之後是這樣的：

分裂的時候，中間的以中間的key-2為中心，將keys分成三份，中間的key作為新的根節點；左邊的部分作為新根節點的左子樹，同樣的道理右邊的部分作為右子樹。

也就是說中間的key成為根節點後，至少兩個子節點，這就是條件3，這就是根節點為什麼至少兩個子節點的原因。
我們繼續往b樹新增key。

當5加進去的時候，最右邊葉子節點不滿足條件，分裂。

加入6

當7進去的時候，會導致最右邊的葉子節點不滿足要求，於是葉子節點右開始分裂

當key（6）上移到它的父節點之後又會導致父節點不滿足要求，繼續分裂。

最後的b樹如下，此時樹的高度變為了3.

可以這麼理解，隨著資料的不斷加入，樹的高度就會慢慢變高，b樹的層數增加是通過分裂根節點完成的。
當根節點要分裂的時候，為什麼是分裂成左右兩個子樹而不能分裂成超過兩個子樹呢？這是由於條件2：除了根節點和葉子節點之外，其它的每個節點最少有m/2（向上取整）個子節點。如果分成三個子節點，那麼每個子節點的包含的節點數就是m/3,不滿足條件2。

再舉一個例子
下面再建個7階的b樹，依次加入1,2，3,4，5,6，7。

當7加入的時候，根節點共有8個child指標，不滿足條件1，所以要分裂，這種情況就以中間的key（4）作為新的根節點，1,2，3作為新的根節點的左子節點，5,6，7作為右子節點。變成這個樣子：

第三個例子，這個例子其實重複了，只是多舉點例子加深理解
下圖是根節點第二次分裂的情況，這是一顆5階b樹，儲存1到16的key，目前高度為2

當我們往這顆b樹加入17的時候，最右邊的葉子有6個childPtr，不滿足條件1。所以這個節點也要執行分裂，的中間的key（15）要上移到父節點，同時分裂為兩個節點，此時它的父節點就是根節點。但是分裂之後就會導致根節點不滿足要求，此時根節點有6個子節點。

由於根節點不滿足要求，所以根節點也要執行分裂操作。

還是以中間的key作為新的根節點，左右兩邊分別作為左右子樹，變成這個樣子：

這時候新的根節點還是兩個子樹，通過上面的幾個例子很容易理解根節點為什麼最少要有兩個子節點