技術標籤：PAT-AL演算法資料結構

Fenwick tree or BIT

Overview

維基百科定義樹狀陣列為,

A Fenwick tree or binary indexed tree is a data structure that can efficiently update elements and calculate prefix sums in a table of numbers.

它所解決的典型問題如下.

Typical problem

給定一個整數陣列a[1~n], 求區間[i,j]的和. 此外, 有時還會要求更新某個a[k]的值.

Key operations

樹狀陣列的儲存結構為陣列t[1~n], 定義了3種基本操作, 如下所示.

int a[n + 1], t[n + 1]; // a表示輸入資料; t為樹狀陣列的儲存結構
int lowbit(int i); // 兩個用途: i += lowbit(i)為其父結點; t[i] = sum[i - lowbit(i) + 1, i]
void update(int i, int k); // 若現在要求更新a[i]的值，即a[i] += k，update就更新陣列t
int getsum(int i); // 求區間a[1...i]的值

其中, getsum(i)可以在 O ( log ⁡ ( n ) ) O(\log(n))

Data Structure

Structure in Picture

樹狀陣列的結構如下圖所示.

定義操作lowbit(i)如下,

int lowbit(int i) {
    return i &
 
 -i;
}

那麼便有,
t [ i ] = ∑ j = i − lowbit ( i ) + 1 i a [ j ] . t[i]=\sum_{j=i-\text{lowbit}(i) + 1}^{i}a[j]. t[i]=j=i−lowbit(i)+1∑i​a[j].
而結點i的父結點為,
i + = lowbit(i) . i += \text{lowbit(i)}. i+=lowbit(i).
例如,

• i = 1, 00000001 & (-1: 11111111) = 1; 父結點為2 = 1 + 1; t[1] = a[1], 表示區間[1, 1]的和
• i = 2, 00000010 & (-2: 11111110) = 2; 父結點為4 = 2 + 2; t[2] = a[1] + a[2] = t[1] + a[2], 表示區間[1, 2]的和
• i = 3, 00000011 & (-3: 11111101) = 1; 父結點為4 = 3 + 1; t[3] = a[3], 表示區間[3, 3]的和
• i = 4, 00000100 & (-4: 11111100) = 4; 父結點為8 = 4 + 4; t[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] = t[2] + t[3] + a[4], 表示區間[1, 4]的和

Code

實現具體程式碼如下

int a[n + 1], t[n + 1]; // a表示輸入資料; t為樹狀陣列的儲存結構

// 兩個用途: i += lowbit(i)為其父結點; t[i] = sum[i - lowbit(i) + 1, i]
int lowbit(int i) { 
    return i & -i;
}

// 若現在要求更新a[i]的值，即a[i] += k，update就更新相應的陣列t
void update(int i, int k) { 
    while (i <= n) { // 從當前結點依次向上更新
        t[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}

// 求區間a[1...i]的值
int getsum(int i) { 
    int sum = 0;
    while (i >= 1) { // 依次向下求
        sum += t[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return sum;
}

• getsum(i)的時間複雜度為 O ( log ⁡ ( n ) ) O(\log(n)) O(log(n))
• update(i)的時間複雜度為 O ( log ⁡ ( n ) ) O(\log(n)) O(log(n))

Examples

• PAT(Advanced Level) 1057 Stack
  • addr: https://pintia.cn/problem-sets/994805342720868352/problems/994805417945710592